Esercizio di Topologia (4)

[fede161]

Ciao ragazzi!

Non riesco a risolvere questo esercizio di topologia..

Si consideri lo spazio di Banach $ C([0,1]) $ delle funzioni continue dall'intervallo [0,1] a valori reali con la norma

\( ||f||= sup |f(x)| \)

Si dimostri che $ C([0,1]) $ si scrive comne somma diretta di $ X $ e \( \widetilde{X} \) con:

\( \widetilde{X} = \) = $ { f in C([0,1]) ; f(x) = ax+b , con :: a,bin R} $ e

$ X = { f in C([0,1]) ; f(0) = f(1) = 0 } $

Il libro mi mette questa soluzione che però non riesco a capire.

Ogni funzione di $ f in C([0,1]) $ può essere scritta come:

$ f(x) = f_0(x)+ax+b $ con:

$ a = f(1)-f(0) $ $ b=f(0) $ e $ f_0(x) = f(x)-(ax+b) in X $

Ne segue che $ f in C([0,1]) $ = \( X\oplus \widetilde{X} \).
Inoltre \( X \cap \widetilde{X} \) = $ {0} $ in quanto ax + b appartiene a X se e solo se a=b=0.

Purtroppo non riesco a capire come arriva al risultato...

Vi ringrazio per l'aiuto.

[Maci86]

C'è qualcosa che non va, infatti dovrebbe essere che $a,b$ appartengono a $RR*$ altrimenti non è vero che l'intersezione è nulla..
Infatti:
$f(0)= a*0 +b=b$
$f(1)= a*1+b= a+b$
Se appartengono ad $X$:
$f(0)= b=0$
$f(1)= a +b=a=0$
Ma non è escluso siano nulli..

[fede161]

credo di averlo scritto che a,b appartengono ad R...

Quindi c'è un errore? :'(

[Maci86]

Grrrr, io volevo scrivere $RR_0$, cioè senza lo zero

[fede161]

Ho modificato il messaggio... così dovrebbe andare bene?

[Maci86]

No, la questione è che la somma diretta è solo tra spazi con intersezione nulla. Quindi devi staccare i due insiemi e per farlo devi negare la possibilità di avere a e b uguali a 0, altrimenti non vale.

[fede161]

Ah.. non so cosa dire, avrà sbagliato il libro...

[Maci86]

A meno che non intenda lo 0 come lo 0 vettoriale che appartiene a tutti gli spazi, il che potrebbe andare bene

[Rigel1]

Esatto, intende proprio quello (in questo caso la funzione identicamente nulla in \([0,1]\)).

[Maci86]

Grazie Rigel!