Esercizio di Topologia (3)

[fede161]

Ciao ragazzi sto risolvendo questo esercizio di topologia.

Data una base $ (e_1,e_2) $ di vettori in R2, si definisca la norma euclidea di un vettore qualunque $ x = x_1e_1+ x_2e_2 $ come : $ ||x||_0 = sqrt(x_1^2+x_2^2) $

si definiscano inoltre le seguenti applicazioni da R2 a R

$ ||x||_1 = |x_1| + |x_2| $

$ ||x||_2 = max {|x_1| + |x_2|} $

Si dimostri che sia $ ||\cdot||_1 $ che $ ||\cdot||_2 $ deifiniscono una norma e si rappresenti nel piano cartesiano la sfera unitaria centrata nell'origine per tutte e tre le metriche:

$ S_j(0,1) = { x in R^2 ; ||x||_j<\1} $

Per dimostrare che sono delle norme è piuttosto semplice... Ma come faccio a rappresentare nel piano la sfera per tutte e tre le metriche?

grazie in anticipo per l'aiuto

[Maci86]

O la conosci o la calcoli
A parte la topologia standard dove è un cerchio centrato nell'origine, le altre due avranno forme particolari.
Nella prima topologia la somma delle componenti in modulo, quindi nei quattro quadranti vale, prendendo raggio uguale a 1:
$ I: x+y<1, II: -x+y<1, III: -x-y<1, IV: x-y<1$
Cosa risulta?
Per la seconda (dove immagino non ci sia un più ma una virgola) devi prendere il massimo, quindi sarà limitata da queste quattro disequazioni:
$x<1,x> -1,y<1, y> -1$
Qui cosa ti viene?

[fede161]

ottengo rispettivamente un rombo e un quadrato....

Ti ringrazio ! Molto gentile