Esercizio di Topologia (2)
Ciao ragazzi! Sto cercando di risolvere questo esercizio di topologia.
Sia (X,d) uno spazio metrico. Si dimostri che:
a) la funzione $ d'(x,y) = (d(x,y))/(1+d(x,y) $ definisce un'altra metrica su X che rende X limitato.
b) ogni spazio metrico è omeomorfo a uno spazio metrico limitato.
Per quanto riguarda il punto a), penso di averlo risolto abbastanza facilmente. Il problema è il punto b).
Purtroppo non so da che parte iniziare. Potreste darmi una mano?
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Sia (X,d) uno spazio metrico. Si dimostri che:
a) la funzione $ d'(x,y) = (d(x,y))/(1+d(x,y) $ definisce un'altra metrica su X che rende X limitato.
b) ogni spazio metrico è omeomorfo a uno spazio metrico limitato.
Per quanto riguarda il punto a), penso di averlo risolto abbastanza facilmente. Il problema è il punto b).
Purtroppo non so da che parte iniziare. Potreste darmi una mano?
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Usi la funzione in a) per generare da uno spazio metrico uno spazio metrico limitato, et voilà
Il libro mi da questa soluzione...
non riesco a capire la questione delle sfere e dei raggi alla fine. In modo informale cosa dice?
non riesco a capire la questione delle sfere e dei raggi alla fine. In modo informale cosa dice?
In modo informale adesso cercano di ricostruire la cosa delle sfere concentriche rispetto alla seconda topologia. Prende un punto dentro la sfera $S'(x_0,r'_1)$ e ti mostra che questo è contenuto in una sfera di raggio $r$ nella prima topologia e contiene la sfera $S(x_0,x)$.
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