Esercizio di Teoria sugli integrali
Salve a tutti !!
Ora riporto l'esercizio che sto cercando di svolgere perchè avrei bisogno di un chiarimento (e NON della soluzione).
Considerata la funzione :
F(x) = $int_{2}^{x} (t+1)^2 * log(t+2) dt$
per x $in$ [1,13], si può concludere che :
1) F(1) = $4 * log(3)$
2) F'(1) = 0
3) F'(x) = $2(x+1) * log(x+2) + (((x+1)^2) / (x+2))
4) F'(2) = $9 * log(4)$
La mia domanda è : se gli estremi sono in x e invece l'integrale è in t come faccio a svolgere l'integrale ?? Lo posso svolgere ugualmente ??
Ora riporto l'esercizio che sto cercando di svolgere perchè avrei bisogno di un chiarimento (e NON della soluzione).
Considerata la funzione :
F(x) = $int_{2}^{x} (t+1)^2 * log(t+2) dt$
per x $in$ [1,13], si può concludere che :
1) F(1) = $4 * log(3)$
2) F'(1) = 0
3) F'(x) = $2(x+1) * log(x+2) + (((x+1)^2) / (x+2))
4) F'(2) = $9 * log(4)$
La mia domanda è : se gli estremi sono in x e invece l'integrale è in t come faccio a svolgere l'integrale ?? Lo posso svolgere ugualmente ??
Risposte
Quello che conta nell'integrale è la variabile del differenziale rispetto alla variabile della funzione:
$int f(t) dt=int f(x)dx=int f(psi)dpsi$. Invece $int f(t) dx=f(t)*(x+c)$ in quanto la funzione f dipenda da t ed è quindi costante per x.
$int f(t) dt=int f(x)dx=int f(psi)dpsi$. Invece $int f(t) dx=f(t)*(x+c)$ in quanto la funzione f dipenda da t ed è quindi costante per x.
Non sò perchè ma le vostre risposte, molte volte, non sono per me esaurienti !! Sicuramente io in matematica non sono un genio e quindi ho bisogno di qualche aiuto in più, ma cosa vi costa spendere qualche parola in più ?!?!?
Ritornando al mio esercizio, essendo l'integrale definito, quando vado a studiare la soluzione nei suoi estremi posso sostituire tranquillamente x a t ?
Cioè, facendo finta che l'integrale fosse stato : $int_ {2}^{x} 1/t dt$ ,nella soluzione avrei potuto scrivere questo : $log|x| - log|2| + C $ ??
Ritornando al mio esercizio, essendo l'integrale definito, quando vado a studiare la soluzione nei suoi estremi posso sostituire tranquillamente x a t ?
Cioè, facendo finta che l'integrale fosse stato : $int_ {2}^{x} 1/t dt$ ,nella soluzione avrei potuto scrivere questo : $log|x| - log|2| + C $ ??
Apparte che il nick "Matematico" per uno che dice di avere problemi nella materia sembra poco adatto 
Sì, l'esempio che hai fatto è corretto. Come ho detto e ribadito l'integrazione non dipende dalla variabile in se ma dal fatto che variabile della funzione e quella del differenziale siano uguali. Insomma $int 1/t dt=int 1/x dx=int 1/(phi) dphi$, e che tu veda scritto x negli estremi non ha importanza, lo usi come parametro per quanto riguarda il calcolo.
Se vuoi ulteriori chiarimenti chiedi pure, magari in modo più gentile. Potevi chiedere la stessa cosa in modo più pacato e ti avrei risposto con più felicità.
Ricorda anche che se hai dei dubbi vi sono sempre il sito di matematicamente da visitare e la mitica Wikipedia, se non ti senti soddisfatto dalle risposte altrui.
Sì, l'esempio che hai fatto è corretto. Come ho detto e ribadito l'integrazione non dipende dalla variabile in se ma dal fatto che variabile della funzione e quella del differenziale siano uguali. Insomma $int 1/t dt=int 1/x dx=int 1/(phi) dphi$, e che tu veda scritto x negli estremi non ha importanza, lo usi come parametro per quanto riguarda il calcolo.
Se vuoi ulteriori chiarimenti chiedi pure, magari in modo più gentile. Potevi chiedere la stessa cosa in modo più pacato e ti avrei risposto con più felicità.
Ricorda anche che se hai dei dubbi vi sono sempre il sito di matematicamente da visitare e la mitica Wikipedia, se non ti senti soddisfatto dalle risposte altrui.
P.S: attento al segno dell'integrale...
In ogni caso non c'è da preoccuparsi della x... ciò che conta non è quello che sta sul segno di integrale ma la variabile della funzione e ciò che c'é dopo il d...
In ogni caso non c'è da preoccuparsi della x... ciò che conta non è quello che sta sul segno di integrale ma la variabile della funzione e ciò che c'é dopo il d...
Scusate ma è da ieri che provo a fare quest'esercizio... e non riesco a capirne lo svolgimento.. 
!!
Ho provato a svolgere l'integrale, ma non ho raggiunto nessun risultato.. uff.. sono preoccupato perchè a breve ho l'esame...
Chi mi da una mano a capire come ragionare ? Grazie...
----
L'unica cosa, ho fatto la derivata della funzione e ho ottenuto proprio la funzione della risposta 3.
Ma mi sembra troppo banale però che sia quella giusta... c'è qualche tranello ?!?!?!
----
Ok risolto. F'(x) rappresenta la funzione integranda (senza l'integrale) e quindi la risposta giusta è la 4 !!!
Non ci posso credere, era così facile... uff.. vabbè.. sbagliando s'impara !! (o almeno si spera d'imparare)...
Grazie comunque..
!!Ho provato a svolgere l'integrale, ma non ho raggiunto nessun risultato.. uff.. sono preoccupato perchè a breve ho l'esame...
Chi mi da una mano a capire come ragionare ? Grazie...
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L'unica cosa, ho fatto la derivata della funzione e ho ottenuto proprio la funzione della risposta 3.
Ma mi sembra troppo banale però che sia quella giusta... c'è qualche tranello ?!?!?!
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Ok risolto. F'(x) rappresenta la funzione integranda (senza l'integrale) e quindi la risposta giusta è la 4 !!!
Non ci posso credere, era così facile... uff.. vabbè.. sbagliando s'impara !! (o almeno si spera d'imparare)...
Grazie comunque..
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