Esercizio di statistica su probabilità

[denisa.kadriu]

Ciao a tutti. Sto cercando di svoglere un esercizio ma non riesco a venirne a capo. Mi potreste aiutare? L'esercizio è il seguente:

In una fabbrica, tre linee di produzione (A, B, C) producono bottiglie di cognac da 0.75 l. La linea A garantisce il 40% di tutta la produzione, quella B il 20% e quella C il 40%. Il contenuto delle bottiglie che escono dalle tre linee ha una distribuzione assimilabile a tre differenti v.c.: (A)N(0.78, 0.01^2), (B)N(0.79, 0.02^2), (C)N(0.8, 0.02^2). Una bottiglia viene considerata difettosa se il suo contenuto è inferiore a 0.75 litri.
a) Calcolate la probabilità che una bottiglia sia difettosa, dato che esce da una linea
b) Calcolate la probabilità che una bottiglia sia difettosa
c) Se una bottiglia è difettosa, da quale linea è stata più probabilmente prodotta?

Grazie mille

[davi02]

Penso che quei quadrati 0.01^2 e 0.02^2 siano errori di scrittura, quindi li interpreto come 0.01 e 0.02.

Detto V il contenuto (in litri) di una bottiglia
Pr(V < x | A) = Φ((x – 0.78) / 0.01)
Pr(V < x | B) = Φ((x – 0.79) / 0.02)
Pr(V < x | C) = Φ((x – 0.80) / 0.02)
dove Φ(x) è la funzione di distribuzione normale (di parametri 0, 1).

a) La probabilità che una bottiglia prodotta dalle singole linee sia difettosa è
Pr(V < 0.75 | A) = Φ((0.75 – 0.78) / 0.01) = Φ(–3) = 1 – Φ(3) ≈ 0.0013
Pr(V < 0.75 | B) = Φ((0.75 – 0.79) / 0.02) = Φ(–2) = 1 – Φ(2) ≈ 0.0228
Pr(V < 0.75 | C) = Φ((0.75 – 0.80) / 0.02) = Φ(–2.5) = 1 – Φ(2.5) ≈ 0.0062

b) La probabilità che una bottiglia prodotta (non sapendo da quale linea) sia difettosa è
Pr(V < 0.75) =
Pr(V < 0.75 | A)*Pr(A) + Pr(V < 0.75 | B)*Pr(B) + Pr(V < 0.75 | C)*Pr(C) =
0.0013*0.40 + 0.0228*0.20 + 0.0062*0.40 =
0.00756

c) Se una bottiglia è difettosa, la linea dalla quale è stata più probabilmente prodotta è B:
Pr(A | V < 0.75) = Pr(V < 0.75 | A)*Pr(A) / Pr(V < 0.75) = 0.0689
Pr(B | V < 0.75) = Pr(V < 0.75 | B)*Pr(B) / Pr(V < 0.75) = 0.6032
Pr(C | V < 0.75) = Pr(V < 0.75 | C)*Pr(C) / Pr(V < 0.75) = 0.3280