Esercizio di risoluzione integrale con sostituzione di variabili.
Data la funzione: f(x,y,z) = 3xyz
e i tre punti: [2,1,2],[1,1,2],[1,3,2]
essendo A l'area di piano delimitata dai tre punti (quindi in questo caso l'area del triangolo avente come vertici i precedenti punti), calcolare l'integrale:
int_(A)^() f(x,y,z) dA
il risultato è 13.
Se siete riusciti a risolverlo, vorrei capire i singoli passaggi effettuati, visto che trovo difficoltà nella sostituzione delle variabili. Grazie mille in anticipo.
e i tre punti: [2,1,2],[1,1,2],[1,3,2]
essendo A l'area di piano delimitata dai tre punti (quindi in questo caso l'area del triangolo avente come vertici i precedenti punti), calcolare l'integrale:
int_(A)^() f(x,y,z) dA
il risultato è 13.
Se siete riusciti a risolverlo, vorrei capire i singoli passaggi effettuati, visto che trovo difficoltà nella sostituzione delle variabili. Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ciao.
Dobbiamo calcolare l'integrale di superficie.
La formula, qualora la superficie è data in forma parametrica, è:
$$\iint_A f(x,y,z) \, dA = \iint_A f(\vec{r}) \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\right\| \, ds\, dt$$
Il problema più che altro sta nel parametrizzare la regione A. E' un piano orizzontale a quota 2, quindi z=2.
Se lo guardi dall'alto, la regione che ci interessa è un triangolo delimitato dalla retta y = -2x + 5
In altre parole, dovendo parametrizzare la nostra regione, si ottiene:
$$\vec{r} = (0,0,2) + s(1,0,0) + t(0,1,0) = (s,t,2)$$
Dove s e t sono parametri che assumeranno determinati valori, i seguenti:
1
Calcolando la norma del prodotto vettoriale delle derivate parziali, si ottiene 1, quindi l'integrale diventa:
$$\int_1^2 \int_1^{-2s+5} 6st \, dt\,ds$$
La funzione da integrare è diventata 6st perché su f(x,y,z) ho sostituto x=s, y=t, z=2, ovvero $\vec{r}$ come ci dice "la formula".
Dobbiamo calcolare l'integrale di superficie.
La formula, qualora la superficie è data in forma parametrica, è:
$$\iint_A f(x,y,z) \, dA = \iint_A f(\vec{r}) \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\right\| \, ds\, dt$$
Il problema più che altro sta nel parametrizzare la regione A. E' un piano orizzontale a quota 2, quindi z=2.
Se lo guardi dall'alto, la regione che ci interessa è un triangolo delimitato dalla retta y = -2x + 5
In altre parole, dovendo parametrizzare la nostra regione, si ottiene:
$$\vec{r} = (0,0,2) + s(1,0,0) + t(0,1,0) = (s,t,2)$$
Dove s e t sono parametri che assumeranno determinati valori, i seguenti:
1
Calcolando la norma del prodotto vettoriale delle derivate parziali, si ottiene 1, quindi l'integrale diventa:
$$\int_1^2 \int_1^{-2s+5} 6st \, dt\,ds$$
La funzione da integrare è diventata 6st perché su f(x,y,z) ho sostituto x=s, y=t, z=2, ovvero $\vec{r}$ come ci dice "la formula".
Sei un grande. Potresti suggerirmi un metodo in generale per riuscire sempre a parametrizzare le variabili nel modo giusto/migliore? anche nel caso di integrali tripli ad esempio?
Sono spiacente, direi di no. Non ho ancora studiato queste cose, ma per quanto ne so non esiste "un modo migliore" per parametrizzare curve e superfici.
Questo te lo avrebbero dovuto insegnare nei corsi di geometria, o sbaglio?
Però, tirando in ballo gli integrali tripli, è sbagliato parlare di parametrizzazione. In tal caso bisogna esprimere il dominio che rappresenta una regione di spazio in maniera tale da poter ottenere degli integrali iterati.
A tal proposito spesso si effettuano i classici cambi di coordinate (sferiche, cilindriche, ecc...).
L'unico modo per imparare è di svolgere tanti esercizi, diversi, per apprendere i vari "trucchetti matematici" che si necessitano di volta in volta.
Tu dici: "ma se appunto non ci riesco, come devo fare?"
Sia nei libri di testo che soprattutto su internet, si trovano numerosi esempi ed esercizi svolti. Servono come input, poi il resto della conoscenza matematica te la devi costruire tu, ti fai l'esperienza.
Non io, qualcun altro saprà dirti di più e confermarti che ti ho detto un pugno di minchiate XD
Questo te lo avrebbero dovuto insegnare nei corsi di geometria, o sbaglio?
Però, tirando in ballo gli integrali tripli, è sbagliato parlare di parametrizzazione. In tal caso bisogna esprimere il dominio che rappresenta una regione di spazio in maniera tale da poter ottenere degli integrali iterati.
A tal proposito spesso si effettuano i classici cambi di coordinate (sferiche, cilindriche, ecc...).
L'unico modo per imparare è di svolgere tanti esercizi, diversi, per apprendere i vari "trucchetti matematici" che si necessitano di volta in volta.
Tu dici: "ma se appunto non ci riesco, come devo fare?"
Sia nei libri di testo che soprattutto su internet, si trovano numerosi esempi ed esercizi svolti. Servono come input, poi il resto della conoscenza matematica te la devi costruire tu, ti fai l'esperienza.
Non io, qualcun altro saprà dirti di più e confermarti che ti ho detto un pugno di minchiate XD
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