Esercizio di prova d'esame
Ciao a tutti, sto provando a fare le prove d'esame (esercizi di vecchi esami, presi direttamente dal sito del professore, http://www.istmat.unifi.it/serena/Compiti2.pdf ) e uno degli esercizi più frequenti è il seguente:
1. Dati la funzione $z = f(x; y) = -1/2 (x2 + 10xy + 5y2) + 10$
ed il triangolo T di vertici A=(0; 0), B=(2; 0) e C=(1; 1)
a) provare che z = f(x; y) non assume valori negativi in T .
b) Calcolare il volume del cilindroide di base T e relativo alla funzione z = f(x; y).
c) Determinare il tipo della quadrica rappresentata da z = f(x; y).
Come posso impostare questo problema per risolvere questi punti? Non voglio la soluzione, in questo momento non è importante (sarà importante all'esame
) ma mi basterebbe riuscire a trovare un metodo di risoluzione semplice.
grazie
1. Dati la funzione $z = f(x; y) = -1/2 (x2 + 10xy + 5y2) + 10$
ed il triangolo T di vertici A=(0; 0), B=(2; 0) e C=(1; 1)
a) provare che z = f(x; y) non assume valori negativi in T .
b) Calcolare il volume del cilindroide di base T e relativo alla funzione z = f(x; y).
c) Determinare il tipo della quadrica rappresentata da z = f(x; y).
Come posso impostare questo problema per risolvere questi punti? Non voglio la soluzione, in questo momento non è importante (sarà importante all'esame
) ma mi basterebbe riuscire a trovare un metodo di risoluzione semplice.grazie
Risposte
a) basta calcolare massimi e minimi su quel dominio e far vedere che i minimi non sono negativi;
b) dai, sul serio? Pensaci un attimo: che sarà mai sto volume?
c) ecco, qui devi ragionare un po' di più, cercando di scrivere quella funzione in maniera più semplice usando qualche trasformazione del piano. Però dipende da cosa avete fatto riguardo le quadriche.
b) dai, sul serio? Pensaci un attimo: che sarà mai sto volume?
c) ecco, qui devi ragionare un po' di più, cercando di scrivere quella funzione in maniera più semplice usando qualche trasformazione del piano. Però dipende da cosa avete fatto riguardo le quadriche.
a) ok provo ora a farlo. ti dico poi com'è andata.
b) uso l'integrale per calcolare il volume giusto? però prima devo riuscire a trovare il dominio di questo triangolo.... mmm... ci provo!
c) L'esame sarà di matematica 2, quindi penso il programma intero.
b) uso l'integrale per calcolare il volume giusto? però prima devo riuscire a trovare il dominio di questo triangolo.... mmm... ci provo!
c) L'esame sarà di matematica 2, quindi penso il programma intero.
Ma per quanto riguarda la ricerca dei massimi e minimi, devo calcolare quelli vincolati?
Questo è il triangolo del dominio. Il punto all'origine è il punto A, il punto in alto è il punto C e l'altro punto è B.
La retta AC=y=x la retta CB= y=2-x
Il dominio, in questo caso che dovrei utilizzare anche per l'integrale doppio, mi viene così:
$0<=x<=2 $ e $x<=y<=2-x$ giusto?
Ho trovato questo consiglio in un altro topic:
però sinceramente non riesco a capire come procedere.
il gradiente è stato spiegato in meno di una pagina e negli esempi viene calcolato sempre in un punto ben preciso, mentre non si fa mai riferimento alla ricerca del gradiente. Qualche consiglio?
Il punto 2 lo affronterei dopo aver risolto il punto 1.
+"La ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati (nel tuo caso ad un triangolo) si divide in due parti:
1)trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo all'interno del triangolo, quindi basta trovare i punti che annullano il gradiente.
2)studio dei punti di massimo e di minimo sul bordo del tuo vincolo, quindi devi parametrizzare la frontiera e riportarti ad uno studio di punti di massimo e di minimo ad una sola variabile (come facevi in analisi 1). Tutto questo tenendo conto dei vertici del triangolo, che comunque fanno parte del bordo.
Poi alla fine confronta tutti i valori che hai trovato, sia dentro che sul bordo e vedi qual è quello di massimo e/o di minimo assoluto"
però sinceramente non riesco a capire come procedere.
il gradiente è stato spiegato in meno di una pagina e negli esempi viene calcolato sempre in un punto ben preciso, mentre non si fa mai riferimento alla ricerca del gradiente. Qualche consiglio?
Il punto 2 lo affronterei dopo aver risolto il punto 1.
Il gradiente di una funzione è così definito : $grad f = ((delf)/(delx), (delf)/(del y))$.
Basta fare le derivate parziali della funzione e porle etrambe uguali a $0$ ottenendo così un sistema di 2 equazioni in 2 incognite che va risolto.
$f_x=0 $
$f_y=0 $
Le coordinate degli eventuali punti che lo risolvono sono i candidati punti critici.
Naturalemnte ti interesseranno solo quelli interni al dominio T .
Verifica se sono max o min e valuta quanto vale la funzione in quei punti.
Bisogna poi vedere che succede sul bordo del dominio ; hai già trovato le equazioni delle rette che costituiscono il bordo.
A questo punto valuta la tua funzione su AC : otterrai che la funzione è di una sola variabile essendo $y=x $ l'equazione del bordo, adesso calcola max e minimi della funzione ottenuta .
Lo stesso per gli altri 2 segmenti del bordo....
Ultimo valuta la funzione nei vertici .
Adesso sai se la funzione assume valori negativi o no in T .
Basta fare le derivate parziali della funzione e porle etrambe uguali a $0$ ottenendo così un sistema di 2 equazioni in 2 incognite che va risolto.
$f_x=0 $
$f_y=0 $
Le coordinate degli eventuali punti che lo risolvono sono i candidati punti critici.
Naturalemnte ti interesseranno solo quelli interni al dominio T .
Verifica se sono max o min e valuta quanto vale la funzione in quei punti.
Bisogna poi vedere che succede sul bordo del dominio ; hai già trovato le equazioni delle rette che costituiscono il bordo.
A questo punto valuta la tua funzione su AC : otterrai che la funzione è di una sola variabile essendo $y=x $ l'equazione del bordo, adesso calcola max e minimi della funzione ottenuta .
Lo stesso per gli altri 2 segmenti del bordo....
Ultimo valuta la funzione nei vertici .
Adesso sai se la funzione assume valori negativi o no in T .
"Camillo":
Il gradiente di una funzione è così definito : $grad f = ((delf)/(delx), (delf)/(del y))$.
Basta fare le derivate parziali della funzione e porle etrambe uguali a $0$ ottenendo così un sistema di 2 equazioni in 2 incognite che va risolto.
$f_x=0 $
$f_y=0 $
Le coordinate degli eventuali punti che lo risolvono sono i candidati punti critici.
Ok spiegazione perfetta del gradiente, stamperò questa spiegazione che mi è molto chiara, grazie.
"Camillo":
Naturalemnte ti interesseranno solo quelli interni al dominio T .
Verifica se sono max o min e valuta quanto vale la funzione in quei punti.
Bisogna poi vedere che succede sul bordo del dominio ; hai già trovato le equazioni delle rette che costituiscono il bordo.
A questo punto valuta la tua funzione su AC : otterrai che la funzione è di una sola variabile essendo $y=x $ l'equazione del bordo, adesso calcola max e minimi della funzione ottenuta .
Lo stesso per gli altri 2 segmenti del bordo....
Ultimo valuta la funzione nei vertici .
Adesso sai se la funzione assume valori negativi o no in T .
Ecco qui ho qualche problema a capirti... hai messo tanta carne al fuoco e non ti sto dietro
puoi rispiegarmelo più lentamente per favore?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo