Esercizio di probabilità

[ale88]

Ciao a tutti! Ho questo esercizio di probabilità in cui non riesco ad andare avanti...

"Sia

[math] (X_n) [/math]

con

[math] n\geq 1[/math]

una successione di variabili aleatorie indipendenti, e tali che

[math] P(X_n = \sqrt{n} + 1) = P(X_n = -\sqrt{n} - 1) = \frac{1}{2(\sqrt{n}+1)^2} [/math]

,

[math] P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{(\sqrt{n} + 1)^2} [/math]

.
Stabilire se

[math] \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} [/math]

converge in distribuzione ad una normale standard."

Io ho iniziato il ragionamento pensando che dato che dobbiamo stabilire se la serie converge ad una normale standard mi sarebbe servito il Teorema del limite centrale per variabili aleatorie indipendenti, e più in particolare mi volevo servire delle conseguenze della condizione di Lindeberg.

Innanzi tutto per condizione di Lindeberg intendo

[math] \forall \epsilon > 0[/math]

,

[math] \sum_{n=1}^n \frac{1}{s_n^2} \int_{|X_n| \leq \epsilon s_n} (X_n)^2\, dp \longrightarrow 0[/math]

con

[math] s_n =\sum_{k=1}^n (\sigma_n)^2 [/math]

e le sue due conseguenze sono :

Lindeberg implica che

[math] P( max (\sigma_n)^2 * \frac{1}{(s_n)^2})\longrightarrow 0 [/math]

Lindeberg implica che

[math] \forall \epsilon > 0 [/math]

,

[math] max P( \frac{|X_n|}{s_n} > \epsilon )\longrightarrow 0 [/math]

In pratica io poi volevo o verificare che la condizione stessa di Lindeberg funzionasse, oppure che non fossero verificate una delle due condizioni... ma non so a livello pratico poi come fare...

[ciampax]

Osserva che devi lavorare sulla variabile

[math]Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i[/math]

Riesci a calcolare la probabilità di tali variabili e la deviazione standard (che ti serve per applicare il criterio che vuoi usare)?

[ale88]

Ehm...no...cioè io avendo questi dati mi ero trovata la speranza matematica e la deviazione standard delle

[math]X_n[/math]

che erano , 0 e 1. Però se mi dovessi calcolare la probabilità e la deviazione standard delle

[math]Y_n[/math]

non saprei come fare...

[ciampax]

Ma scusa, lo hai letto il problema? La richiesta è quella di stabilire se la variabile aleatoria

[math]\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i[/math]

converge in norma ad una normale standard.

Calcolare valore atteso e deviazione per

[math]X_n[/math]

è corretto. Ora, ti chiedo: se tu hai due variabili aleatorie

[math]X_1,\ X_2[/math]

, con valori attesi

[math]E_1,\ E_2[/math]

e deviazioni standard

[math]\sigma_1,\ \sigma_2[/math]

, sapresti dire quanto valgono il valore atteso e la deviazione standar della variabile

[math]Y=k(X_1+X_2)[/math]

, dove

[math]k > 0[/math]

è una costante? Se riesci a fare questo, calcolare valore atteso e deviazione standard per

[math]Y_n[/math]

è una semplice conseguenza.

[ale88]

Ma a me cosa serve calcolare il valore atteso e la deviazione standard della

[math]Y_n[/math]

? Se io volessi verificare per esempio che la condizione di Lindeberg valga(o non valga) ho che il mio

[math]s_n = \sqrt{n}[/math]

quindi avrei

[math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\int_{|X_k|\geq\epsilon\sqrt{n}} (X_k)^2\, dp[/math]

e ora da qua dovrei provare a vedere se il tutto converge o no a zero...