Esercizio di natura teorica massimo e minimo
salve a tutti,
ho un problema nel risolvere un esercizio di natura teorica:
sia f una funzione continua sull'intervallo $(0,infty)$ con $\lim_{x\ to \ 0 }f(x) = \lim_{x \ to \ infty }f(x) > f(1) $.
Cosa si può dire circa l'esistenza del massimo e del minimo di f?
La risposta data dal mio professore è stata che non si può dire nulla circa il massimo,ma esiste il minimo se si applica il teorema di Weierstrass su un intervallo $(a,b)$
Intuitivamente ho fatto un grafico,ma non riesco a spiegarmi perchè se restringo l'attenzione su intervallo $(a,b)$ e applico Weierstrass non ho anche il massimo.
ho un problema nel risolvere un esercizio di natura teorica:
sia f una funzione continua sull'intervallo $(0,infty)$ con $\lim_{x\ to \ 0 }f(x) = \lim_{x \ to \ infty }f(x) > f(1) $.
Cosa si può dire circa l'esistenza del massimo e del minimo di f?
La risposta data dal mio professore è stata che non si può dire nulla circa il massimo,ma esiste il minimo se si applica il teorema di Weierstrass su un intervallo $(a,b)$
Intuitivamente ho fatto un grafico,ma non riesco a spiegarmi perchè se restringo l'attenzione su intervallo $(a,b)$ e applico Weierstrass non ho anche il massimo.
Risposte
Come usi il teorema di Weierstrass per la ricerca di un minimo assoluto di $f$?
Formalizza il tuo ragionamento e vedrai che lo stesso ragionamento non si può usare anche per la ricerca del massimo.
Formalizza il tuo ragionamento e vedrai che lo stesso ragionamento non si può usare anche per la ricerca del massimo.
In realtà l'argomento per l'esistenza del minimo si formalizza facilmente.
Per definizione di limite esistono $a\in (0,1)$ e $b\in (1,+\infty)$ tali che $f(x) > f(1)$ per ogni $x\in (0, a]$ e
$f(x) > f(1)$ per ogni $x\in [b, +\infty)$.
Poiché $f$ è continua in $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass esiste $x_0\in [a,b]$ punto di minimo assoluto di $f$ in $[a,b]$.
Dal momento che $1\in (a,b)$, avremo ovviamente che $f(x_0)\le f(1)$.
Per quanto detto prima avremo inoltre che
$f(x) > f(1) \ge f(x_0)$ per ogni $x\in (0, a]\cup [b, +\infty)$.
Ma allora $f(x_0)\le f(x)$ per ogni $x\in (0, +\infty)$, quindi $x_0$ è punto di minimo assoluto per $f$ in $(0,+\infty)$.
Naturalmente lo stesso argomento non ti permette di stabilire l'esistenza del massimo assoluto (perché?).
Per definizione di limite esistono $a\in (0,1)$ e $b\in (1,+\infty)$ tali che $f(x) > f(1)$ per ogni $x\in (0, a]$ e
$f(x) > f(1)$ per ogni $x\in [b, +\infty)$.
Poiché $f$ è continua in $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass esiste $x_0\in [a,b]$ punto di minimo assoluto di $f$ in $[a,b]$.
Dal momento che $1\in (a,b)$, avremo ovviamente che $f(x_0)\le f(1)$.
Per quanto detto prima avremo inoltre che
$f(x) > f(1) \ge f(x_0)$ per ogni $x\in (0, a]\cup [b, +\infty)$.
Ma allora $f(x_0)\le f(x)$ per ogni $x\in (0, +\infty)$, quindi $x_0$ è punto di minimo assoluto per $f$ in $(0,+\infty)$.
Naturalmente lo stesso argomento non ti permette di stabilire l'esistenza del massimo assoluto (perché?).
Seguendo lo stesso ragionamento,avrei,per il massimo,che $ f(x_0)>f(1) $ e quindi $f(x_0)> f(x)$ che non è possibile,giusto?
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