Esercizio di massimi e minimi assoluti due variabili

[kussoletta]

Ciao a tutti , per chi mi risponderà , grazie mille già da subito! Comunque il problema è trovare massimi e minimi assoluti della seguente funzione
f(x,y)=(y+x^2)^2 sulla linea di equazione x^2+y^2=4 parametrizzata.
Grazie ancora

[ciampax]

Puoi procedere in vari modi. Osserva che la curva è una circonferenza di centro l'origine e raggio 2. Possiamo scrivere

[math]x^2=4-y^2[/math]

dove

[math]y\in[-2,2][/math]

e quindi la funzione da studiare diventa

[math]F(y)=f(x(y),y)=(y+4-y^2)^2[/math]

Per determinare massimi e minimi puoi semplicemente derivare questa:

[math]F'(y)=2(y+4-y^2)(1-2y)\ge 0[/math]

Risolviamo:

[math]y+4-y^2\ge 0\ \Leftrightarrow\ y^2-y-4\le 0\ \Leftrightarrow\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\le y\le \frac{1+\sqrt{17}}{2}[/math]

[math]1-2y\ge 0\ \Leftrightarrow\ y\le\frac{1}{2}[/math]

e quindi la funzione

[math]F[/math]

:

- cresce su

[math]\left[\frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1}{2}\right][/math]

- decresce su

[math]\left[-2,\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},2\right][/math]

- assume massimi in

[math]y=-2,\ y=\frac{1}{2}[/math]

- assume minimi in

[math]y=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\ y=2[/math]

Poiché si ha pure

[math]F(-2)=4,\qquad F(1/2)=\frac{289}{16}\\ F\left(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)=0,\qquad F(2)=4[/math]

possiamo concludere che

[math]y=1/2[/math]

è il massimo assoluto mentre

[math]y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}[/math]

è il minimo assoluto.