Esercizio di EDP

[Pickup]

Ciao a tutti. Mi servirebbe capire una cosa riguardo questo esercizio di EDP. Devo trovare le soluzioni di

{$u_(t,t)-9u_(x,x)=0$, $(x,t) in (0,2)*(0,+infty)$
$u(x,0)=x$, $AA x in (0,2)$
$u_t(x,0)=1+cos(Pi/2*x)$, $AA x in (0,2)$
$u_x(0,t)=u_x(2,t)=0$, $AA t in (0,+infty)$

Tralascio le soluzioni banali e arrivo al sodo.

$X''+lambda*X=0$
$X'(0)=X'(2)=0$

Calcolo questo problema ai limiti e ottengo:

$Y=C_1*cos(sqrt(lambda)*X)+C_2*sin(sqrt(lambda)*X)$

Calcolo la derivata di Y rispetto ad X e ottengo:
$Y'=C_2*sqrt(lambda)*cos(sqrt(lambda)*X)-C_1*sqrt(lambda)*sin(sqrt(lambda)*X)$

$X'(0)=0$
$0=C_2+sqrt(lambda) $
Da questa ricavo che $C_2=0$

$X'(2)=0$
$0=C_2*sqrt(lambda)*cos(2*sqrt(lambda))-C_1*sqrt(lambda)*sin(2*sqrt(lambda))$

Ma se $C_2=0$, com'è possibile che gli autovalori e le autofunzioni sono $lambda_0=0$ e $X_0(x)=1$ con $lambda_k=(k^2+pi^2)/4$ e $X_k(x)=cos((k*pi)/2*x) ?$ Avrei qualcosa in funzione di seno e non di coseno. Dove sbaglio nel ragionamento?

[dissonance]

Fai bene i conti. \(C_2\) è il coefficiente del seno, non del coseno.

[Pickup]

Vero scusami per la domanda supercretina . Ho capito perfettamente dove sbaglio. Quisti sono i miei tipici errori da esame. Nell'ultimo, per una cosa piu o meno simile, mi è costato 4 punti.

Grazie mille