Esercizio di Convergenza puntuale e Uniforme
Ciao ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
Per ognuna delle seguenti successioni di funzioni \(\displaystyle {f_n} \) studiare la convergenza puntuale e uniforme nell'insieme \(\displaystyle D \) indicato.
\(\displaystyle f_n(x)= (sinx)^n \) , \(\displaystyle D=[0,\pi] \)
Per studiare la convergenza puntuale, sfrutto il limite: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (sinx)^n=f(x) \) , ricavando che la funzione limite è zero, in quanto nell'intervallo considerato \(\displaystyle D \) il seno tendo a zero(nell'estremo pi greco).
Successivamente considero il sup, cioè : \(\displaystyle sup| f_n(x)-f(x)| \) che al tendere di \(\displaystyle n \to \infty \) deve essere zero.
Ricavo, dunque, \(\displaystyle sup|(sinx)^n-0| \), ma osservando il grafico della funzione seno il sup di tale successione di funzioni è 1.Per tale motivo, posso concludere che la funzione considerata converge puntualmente, ma non uniformemente.
Secondo voi è corretto?
grazie mille a tutti!
Per ognuna delle seguenti successioni di funzioni \(\displaystyle {f_n} \) studiare la convergenza puntuale e uniforme nell'insieme \(\displaystyle D \) indicato.
\(\displaystyle f_n(x)= (sinx)^n \) , \(\displaystyle D=[0,\pi] \)
Per studiare la convergenza puntuale, sfrutto il limite: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (sinx)^n=f(x) \) , ricavando che la funzione limite è zero, in quanto nell'intervallo considerato \(\displaystyle D \) il seno tendo a zero(nell'estremo pi greco).
Successivamente considero il sup, cioè : \(\displaystyle sup| f_n(x)-f(x)| \) che al tendere di \(\displaystyle n \to \infty \) deve essere zero.
Ricavo, dunque, \(\displaystyle sup|(sinx)^n-0| \), ma osservando il grafico della funzione seno il sup di tale successione di funzioni è 1.Per tale motivo, posso concludere che la funzione considerata converge puntualmente, ma non uniformemente.
Secondo voi è corretto?
grazie mille a tutti!
Risposte
Rimanendo sul limite puntuale, prova a calcolare \(f_n(\pi / 2)\).
Il limite puntuale dovrebbe essere 1(anche graficamente è noto), errore mio. Questo di conseguenza va ad incidere sulla convergenza uniforme in quanto avrò : \(\displaystyle sup|(sinx)^n-1| \) e \(\displaystyle (sinx)^n \) tende a 1 , pertanto il sup tende a zero.
E' corretto?
E' corretto?
"Dave95":
Il limite puntuale dovrebbe essere 1(anche graficamente è noto), errore mio. Questo di conseguenza va ad incidere sulla convergenza uniforme in quanto avrò : \(\displaystyle sup|(sinx)^n-1| \) e \(\displaystyle (sinx)^n \) tende a 1 , pertanto il sup tende a zero.
E' corretto?
No. Quel \(\sup\) vale comunque \(1\), poiché il limite puntuale vale \(1\) per \(x = \pi/2\), mentre è nullo per tutti gli altri valori di \(x\).
Puoi concludere che la convergenza non è uniforme anche dal fatto che, essendo le funzioni continue, se la convergenza fosse uniforme allora anche il limite dovrebbe essere una funzione continua (mentre non lo è).
Ok, ho capito.
Scusami Rigel, se chiedo nuovamente il tuo aiuto. Si tratta sempre di convergenza puntuale e uniforme.
Ho questa successione di funzioni:
\(\displaystyle f_n=(nx)/(2+(nx)^2) \) con \(\displaystyle D=[0,\infty ) \)
Studiando la convergenza puntuale come fatto in precedenza, ottengo :
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (nx)/(2+(nx)^2) \) è \(\displaystyle ∼ \) con \( \displaystyle n \to \infty \) ad \(\displaystyle 1/(nx) \) . Quest'ultimo sempre ad \( \displaystyle n \to \infty \) va a 0 .
Ora ne studio la convergenza uniforme, avendo che \(\displaystyle sup|(nx)/(2+(nx)^2-0| ) \) è anche esso asintotico con \( \displaystyle n \to \infty \) a \(\displaystyle 1/(nx) \), che è zero(n va a più infinito).
Sei d'accordo, con la mia trattazione?
Scusami Rigel, se chiedo nuovamente il tuo aiuto. Si tratta sempre di convergenza puntuale e uniforme.
Ho questa successione di funzioni:
\(\displaystyle f_n=(nx)/(2+(nx)^2) \) con \(\displaystyle D=[0,\infty ) \)
Studiando la convergenza puntuale come fatto in precedenza, ottengo :
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (nx)/(2+(nx)^2) \) è \(\displaystyle ∼ \) con \( \displaystyle n \to \infty \) ad \(\displaystyle 1/(nx) \) . Quest'ultimo sempre ad \( \displaystyle n \to \infty \) va a 0 .
Ora ne studio la convergenza uniforme, avendo che \(\displaystyle sup|(nx)/(2+(nx)^2-0| ) \) è anche esso asintotico con \( \displaystyle n \to \infty \) a \(\displaystyle 1/(nx) \), che è zero(n va a più infinito).
Sei d'accordo, con la mia trattazione?
"Dave95":
Ora ne studio la convergenza uniforme, avendo che \(\displaystyle sup|(nx)/(2+(nx)^2-0| ) \) è anche esso asintotico con \( \displaystyle n \to \infty \) a \(\displaystyle 1/(nx) \), che è zero(n va a più infinito).
Sei d'accordo, con la mia trattazione?
Il \(\sup\), essendo su \(x\), non può dipendere da \(x\)!
Se vuoi puoi provare, a \(n\) fissato, a studiare la funzione \(f_n(x) = \frac{nx}{2 + (nx)^2}\); vedrai che ha un massimo la cui quota non tende a \(0\) per \(n\to +\infty\).
In alternativa, più brevemente puoi calcolare \(f_n(1/n)\) (che, ovviamente, stima il \(\sup\) in questione dal basso).
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