Esercizio di calcolo delle variazioni (credo)
Dimostrare che
$$\inf\left\{\int_{0}^{1}\dot{v}^{2} \ \text{tale che} \ \int_{0}^{1}v^{2}=1, \ v\in H_{0}^{1}([0,1])\right\}=\pi^{2}.$$
Il libro da come suggerimento di utilizzare le serie di Fourier ma io non ho la più palla idea di come si possa far vedere.
$$\inf\left\{\int_{0}^{1}\dot{v}^{2} \ \text{tale che} \ \int_{0}^{1}v^{2}=1, \ v\in H_{0}^{1}([0,1])\right\}=\pi^{2}.$$
Il libro da come suggerimento di utilizzare le serie di Fourier ma io non ho la più palla idea di come si possa far vedere.
Risposte
Un'idea al volo, diversa da quella del libro, che polverizza l'esercizio (che sicuramente si può fare a mano ma ora non ho tempo di fare i conti).
Conosci la disuguaglianza di Poincaré per \( H^1_0(\Omega)\)? Immagino di sì; sai anche come si determina la costante ottimale in funzione di $\Omega$? Essa è uguale a una funzione (tipo l'inverso della radice) del primo autovalore (di Dirichlet) del laplaciano su $\Omega$.
E qui gli autovalori sono facili da calcolare, perché si tratta di trovare i \( \lambda \in \mathbb R\) per cui esiste una soluzione non banale del problema ai limiti
\[
\begin{cases}
u^{\prime\prime} - \lambda u = 0 \\
u(0)=0=u(1)
\end{cases}
\]
e da questo conticino salta sicuramente fuori un $\pi$. Riesci a capire come questo (dopo aver messo a posto i dettagli) risolve il tuo esercizio?
Scusami per la vaghezza e la fretta, se ho tempo più tardi aggiungo qualcosa.
Conosci la disuguaglianza di Poincaré per \( H^1_0(\Omega)\)? Immagino di sì; sai anche come si determina la costante ottimale in funzione di $\Omega$? Essa è uguale a una funzione (tipo l'inverso della radice) del primo autovalore (di Dirichlet) del laplaciano su $\Omega$.
E qui gli autovalori sono facili da calcolare, perché si tratta di trovare i \( \lambda \in \mathbb R\) per cui esiste una soluzione non banale del problema ai limiti
\[
\begin{cases}
u^{\prime\prime} - \lambda u = 0 \\
u(0)=0=u(1)
\end{cases}
\]
e da questo conticino salta sicuramente fuori un $\pi$. Riesci a capire come questo (dopo aver messo a posto i dettagli) risolve il tuo esercizio?
Scusami per la vaghezza e la fretta, se ho tempo più tardi aggiungo qualcosa.
Si, mi trovo che viene $\pi^2$. Non sapevo che foose possibile determinare la costante di Poincarè come primo autosalone di Laplace. Allora già che ci siamo ti pongo un'altra domanda (sempre se hai tempo per aiutarmi 
). Come dimostreresti invece che
$$\inf \left\{\int_{0}^{1}w'^{2}: \ w\in H^{1}(0,1),\ w(0)=\epsilon, \ w(1)=0, \int_{0}^{1}w^{2}=1\right\}\geq \pi^2-C_{0}\epsilon$$
con $\epsilon$ positiva e prossima a $zero$ e $C_{0}$ costante positiva indipendente da $\epsilon$?
). Come dimostreresti invece che $$\inf \left\{\int_{0}^{1}w'^{2}: \ w\in H^{1}(0,1),\ w(0)=\epsilon, \ w(1)=0, \int_{0}^{1}w^{2}=1\right\}\geq \pi^2-C_{0}\epsilon$$
con $\epsilon$ positiva e prossima a $zero$ e $C_{0}$ costante positiva indipendente da $\epsilon$?
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