Esercizio di analisi matematica II (Topologia)
Mi si chiede di trovare il dominio della funzione $f(x,y)=e^[1/[cos(y-x)]]$, questa prima parte l'ho svolta.
Poi mi si chiede di studiarne il carattere topologico ( se è un insieme aperto,chiuso,nè aperto nè chiuso) e qui mi sono bloccato.....
C'è un altra parte dell esercizio ,la quale mi chiede di trovare un insieme privo di punti interni,anche qua ho qualche difficoltà...
Grazie in anticipo per l interessamento
Poi mi si chiede di studiarne il carattere topologico ( se è un insieme aperto,chiuso,nè aperto nè chiuso) e qui mi sono bloccato.....
C'è un altra parte dell esercizio ,la quale mi chiede di trovare un insieme privo di punti interni,anche qua ho qualche difficoltà...
Grazie in anticipo per l interessamento
Risposte
L'hai disegnato il dominio? Si dovrebbe riuscire a capire "a senso" se è aperto, chiuso... Poi dopo si può cercare di darne una spiegazione un po' più formale.
sisi l'ho disegnato, mi vengono due rette parallele la prima è $y=x+pi/2$ e la seconda è $y=x-pi/2$ la funzione è definita per ogni punto $(x,y)$ che non si trova su tali rette....ora io so che un insieme è chiuso se contiene il suo derivato....ma è proprio questo il problema....non so se interpretare i punti di tali rette come punti di frontiera o di interpretarli come punti interni al complemento del dominio (costituito dalle due rette).....non so forse sto facendo un po di confusione.....
In realtà le rette sono molte di più! Infatti il coseno si annulla per tutti gli angoli della forma $pi/2+kpi$ quindi dovrebbero venirti infinite rette parallele. Il dominio è rappresentato dalle "strisce" di piano comprese fra le rette. A intuito un insieme aperto è uno che "non ha i bordi" (nel senso che non appartengono all'insieme), un insieme chiuso è uno che "ha tutti i bordi". Poi dovresti dire tu la definizione formale che hai. Ma intuitivamente queste strisce cosa ti sembrano? Quali sono i bordi? Appartengono al dominio o no?
sisi mi ero dimenticato.....avevo effettuato una restrizione della funzione coseno , senza accorgermene....comunque una volta che ho corretto.....da quanto mi sembra di capire il dominio è un insieme aperto perchè se interpreto le infinite rette come i "bordi" questi non appartengono al dominio ,costituito dalle bande tra le rette, eppure i punti di tali rette sono punti di accumulazione per il dominio stesso.....ovvero l'insieme dei punti di accumulazione non è contenuto interamente nel dominio in quanto ne fanno parte anche quei punti posti sulle rette.....non so se ho ragionato bene....aspetto una conferma : 
Sì ci sei vicino, ma non basta questo a poter dire che è un aperto. Anche $[0,1)subRR$ non contiene tutti i suoi punti di accumulazione, ma non è un aperto. Quali sono la definizione e le caratterizzazioni di aperto che hai?
Ho solo la definizione di insieme chiuso....l'insieme aperto c'ho scritto che è l'insieme complemento di un insieme chiuso....dove per insieme chiuso si intende un insieme che contiene la propria frontiera.....
Ok e allora proviamo a dimostrare che il complementare del dominio, ossia l'insieme delle rette, è chiuso! Che definizione hai di frontiera? Qual è la frontiera dell'insieme delle rette?
per fronteira intendo l' insieme dei punti che non sono interni nè al dominio nè al suo complemento.........
Sei riuscito a capirne un po' di più? Non ho più risposto perché ho avuto poco tempo ma anche perché mi era sembrato che non ci stessi nemmeno provando a ragionarci da solo con un po' di impegno.
sisi grazie per le dritte ..... aveva un po di confusione riguardo alla definizione di frontiera e di insieme aperto...ma oggi le ho riviste meglio...grazie mille yellow 
...almeno credo di aver capito....cioè l' insieme delle rette è chiuso perchè per ogni punto appartenente a tale insieme è un punto d'accumulazione per l'insieme delle rette stesso......inoltre un insieme aperto non contiene nessun punto di frontiera quindi essendo i punti delle rette dei punti di frontiera (il che significa che preso un intorno di tali punti, in tale intorno circolare o rettangolare vi ricadono sia punti della retta che punti del dominio),e poiche il dominio non contiene tali punti.....il dominio è un insieme aperto....dico bene? 
...almeno credo di aver capito....cioè l' insieme delle rette è chiuso perchè per ogni punto appartenente a tale insieme è un punto d'accumulazione per l'insieme delle rette stesso......inoltre un insieme aperto non contiene nessun punto di frontiera quindi essendo i punti delle rette dei punti di frontiera (il che significa che preso un intorno di tali punti, in tale intorno circolare o rettangolare vi ricadono sia punti della retta che punti del dominio),e poiche il dominio non contiene tali punti.....il dominio è un insieme aperto....dico bene?
Beh ma se dimostri che l'insieme delle rette è chiuso, automaticamente il domionio sarà aperto perché è il suo complementare.
Non è invece del tutto sufficiente dire che, poiché le rette sono di frontiera per il dominio ed esso non le contiene, allora il dominio è aperto. Infatti potrebbe in teoria averne altri di punti di frontiera.
Sulle questioni più pratiche invece faccio fatica a guidarti perché dipende tutto dal set di definizioni, caratterizzazioni e altri strumenti che hai a disposizione.
Non è invece del tutto sufficiente dire che, poiché le rette sono di frontiera per il dominio ed esso non le contiene, allora il dominio è aperto. Infatti potrebbe in teoria averne altri di punti di frontiera.
Sulle questioni più pratiche invece faccio fatica a guidarti perché dipende tutto dal set di definizioni, caratterizzazioni e altri strumenti che hai a disposizione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo