Esercizio di Analisi Matematica

[newton]

Determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme numerico

A= {(1/2+cosnpi)^n n appartenente all'insieme dei numeri naturali

Aggiunto 22 ore 32 minuti più tardi:

Mi aiutereste per favore a svolgere questo esercizio? Vi ringrazio anticipatamente.

[ciampax]

Basta considerare la forma dei termini generali. Per prima cosa poniamo

[math]a_n=\left(\frac{1}{2}+\cos(n\pi)\right)^n[/math]

Osserva ora che, se

[math]n=2m[/math]

è pari allora

[math]\cos(n\pi)=\cos(2m\pi)=\cos(2\pi)=1[/math]

mentre se

[math]n=2m+1[/math]

è dispari allora

[math]\cos(n\pi)=\cos(2m\pi+\pi)=\cos(\pi)=-1[/math]

per cui

[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]

. Si ha allora

[math]a_{2m}=\left(\frac{1}{2}+\cos(2m\pi)\right)^{2m}=
\left(\frac{1}{2}+1\right)^{2m}=\left(\frac{9}{4}\right)^m[/math]

mentre

[math]a_{2m+1}=\left(\frac{1}{2}+\cos(2m\pi+\pi)\right)^{2m+1}=
\left(\frac{1}{2}-1\right)^{2m+1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2m+1}=-\frac{1}{2\cdot 4^m}[/math]

La successione

[math]a_{2n}[/math]

risulta positiva, crescente, divergente a infinito e di primo termine 9/4. La successione

[math]a_{2n+1}[/math]

risulta negativa, crescente, convergente a zero e di primo termine

[math]-1/2[/math]

. Ne segue che

[math]\inf(a_n)=\min(a_n)=-\frac{1}{2},\qquad \sup(a_n)=+\infty[/math]