Esercizio di analisi II
Lunedì c'è il primo compitino e questo è un esercizio che ho trovato nello scritto dell'anno scorso:
Dimostrare che l'equazione $x^2+y^2=sin(x+y)$ definisce una curva chiusa semplice. Determinate poi la retta tangente alla curva nell'origine.
Ringrazio chiunque mi possa dire come si fa...
Dimostrare che l'equazione $x^2+y^2=sin(x+y)$ definisce una curva chiusa semplice. Determinate poi la retta tangente alla curva nell'origine.
Ringrazio chiunque mi possa dire come si fa...
Risposte
"Marty84":
Lunedì c'è il primo compitino e questo è un esercizio che ho trovato nello scritto dell'anno scorso:
Dimostrare che l'equazione $x^2+y^2=sin(x+y)$ definisce una curva chiusa semplice. Determinate poi la retta tangente alla curva nell'origine.
Ringrazio chiunque mi possa dire come si fa...
Per quanto riguarda la tangente: io passerei in coordinate polari, raggio $r=r(theta)$ e angolo $theta$. L'equazione diventa
$r^2=sin( rsin(theta)+rcos(theta) )=sin( sqrt(2)r sin(theta+pi/4))$
ora per conoscere la tangente nell'origine (ovvero quando $r=0$) ci è sufficiente sapere la derivata di $r(theta)$, scrivendo $R=(dr)/(d theta)$ e derivando l'equazione sopra
$2rR=cos( sqrt(2)r sin(theta+pi/4))(sqrt(2)R sin(theta+pi/4)+sqrt(2)r cos(theta+pi/4))$
$sqrt(2)rR=cos( sqrt(2)r sin(theta+pi/4))(R sin(theta+pi/4)+r cos(theta+pi/4))$
$sqrt(2)rR=sqrt(1-r^4)(R sin(theta+pi/4)+r cos(theta+pi/4))$
$(sqrt(2)r-sqrt(1-r^4)sin(theta+pi/4))R=rsqrt(1-r^4) cos(theta+pi/4)$
$R=(r sqrt(1-r^4) cos(theta+pi/4))/(sqrt(2)r-sqrt(1-r^4)sin(theta+pi/4)$
per cui quando $r=0$ si ha $R=0$.
Ovviamente tutto quello sopra è molto informale, spero almeno sia un buono spunto...
Guarda, grazie mille 
! io mi sono spaventata dal seno di un seno e non sapevo come venirne fouri, cercavo di ricavare la r per poi usare la formula classica ma nn era necessario 
...grazie ancora!
! io mi sono spaventata dal seno di un seno e non sapevo come venirne fouri, cercavo di ricavare la r per poi usare la formula classica ma nn era necessario ...grazie ancora!
"Marty84":
Lunedì c'è il primo compitino e questo è un esercizio che ho trovato nello scritto dell'anno scorso:
Dimostrare che l'equazione $x^2+y^2=sin(x+y)$ definisce una curva chiusa semplice. Determinate poi la retta tangente alla curva nell'origine.
Ringrazio chiunque mi possa dire come si fa...
$x^2+y^2=sin(x+y)$
vediamo che $sin(x+y)$ può assumere solo valori compresi tra -1 e 1
quidi sappiamo che la formula generale della conica è $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e nel nostro caso il termine misto è dato proprio da sin(x+y)
sappiamo inoltre che se il delta della conica è minore di zero esso rappresenterà un'ellissi, se sarà uguale a zero rappresenterà una parabole e se sarà maggiore di zero rappresenterà un'iperbole
ora calcoliamo il delta con i valori massimi che può assumere il termine misto, cioè -1 e 1, se saranno verificati per quelli, sarenno verificati anche per tutti i valori compresi tra i due, cioè più piccoli di -1 e 1
il $Delta=b^2-4ac$=$(-1)^2-4$che è minore di zero
cosa equivalente è sa usiamo 1.
è verificato che la curva è un'ellissi.
Beh allora adesso è tutto più facile...ci mediterò sopra! grazie!
"fu^2":
[quote="Marty84"]Lunedì c'è il primo compitino e questo è un esercizio che ho trovato nello scritto dell'anno scorso:
Dimostrare che l'equazione $x^2+y^2=sin(x+y)$ definisce una curva chiusa semplice. Determinate poi la retta tangente alla curva nell'origine.
Ringrazio chiunque mi possa dire come si fa...
$x^2+y^2=sin(x+y)$
vediamo che $sin(x+y)$ può assumere solo valori compresi tra -1 e 1
quidi sappiamo che la formula generale della conica è $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e nel nostro caso il termine misto è dato proprio da sin(x+y)
sappiamo inoltre che se il delta della conica è minore di zero esso rappresenterà un'ellissi, se sarà uguale a zero rappresenterà una parabole e se sarà maggiore di zero rappresenterà un'iperbole
ora calcoliamo il delta con i valori massimi che può assumere il termine misto, cioè -1 e 1, se saranno verificati per quelli, sarenno verificati anche per tutti i valori compresi tra i due, cioè più piccoli di -1 e 1
il $Delta=b^2-4ac$=$(-1)^2-4$che è minore di zero
cosa equivalente è sa usiamo 1.
è verificato che la curva è un'ellissi.[/quote]
Non capisco dove hai dimostrato che la curva è una conica
beh presenta termini di secondo grado sie in y che in x (e un termine misto)...
mi pare che sia già una condizione soddisfacente affinche possa dire che la curva rappresenti una conica... o sbaglio?
mi pare che sia già una condizione soddisfacente affinche possa dire che la curva rappresenti una conica... o sbaglio?
"fu^2":
beh presenta termini di secondo grado sie in y che in x (e un termine misto)...
mi pare che sia già una condizione soddisfacente affinche possa dire che la curva rappresenti una conica... o sbaglio?
Beh, sbagli. Altrimenti la definizione di conica sarebbe "curva generata da un equazione con termini di secondo grado sia in $x$ che in $y$", non credi?
giusto, infatti tipo la parabola presenta solo la x di secondo grado...mmm sul passo fondamentale della dimostrazione nn ci ho fatto caso... dv smetterla di pensare appena svegliato...
allora sappiamo che:
una conica è l'insieme dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e dalla direttrice.
questo rapporto rappresenta la sua eccentricità.
*è una condizione sufficiente e necessaria che i termini di secondo grado e il termine misto non siano tutti e tre contemporaneamenti nulli.
se i tre termini fossero tutti e tre contemporaneamente nulli la curva sarebbe una conica degenera e quindi nn soddisferebbe più la sua definizione.
nel nostro caso queste condizioni sono perfettamente soddisfatte e quindi la curva rappresenta una conica... questa dovrebbe essere la base giusta per dimostrare che la curva in questione è poi un'ellissi, come ricavato sopra.
allora sappiamo che:
una conica è l'insieme dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e dalla direttrice.
questo rapporto rappresenta la sua eccentricità.
*è una condizione sufficiente e necessaria che i termini di secondo grado e il termine misto non siano tutti e tre contemporaneamenti nulli.
se i tre termini fossero tutti e tre contemporaneamente nulli la curva sarebbe una conica degenera e quindi nn soddisferebbe più la sua definizione.
nel nostro caso queste condizioni sono perfettamente soddisfatte e quindi la curva rappresenta una conica... questa dovrebbe essere la base giusta per dimostrare che la curva in questione è poi un'ellissi, come ricavato sopra.
"fu^2":
giusto, infatti tipo la parabola presenta solo la x di secondo grado...mmm sul passo fondamentale della dimostrazione nn ci ho fatto caso... dv smetterla di pensare appena svegliato...
allora sappiamo che:
una conica è l'insieme dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e dalla direttrice.
questo rapporto rappresenta la sua eccentricità.
Okay, ora la domanda è: esiste una parabola che soddisfa $x^2+y^2=sin(x+y)$?
Devi necessariamente dimostrare o confutare ciò, altrimenti qualsiasi considerazione riguardo le coniche degeneri o meno diventa vana...
Esistono anche curve che non sono coniche, mica hanno il monopolio della geometria analitica... capisci che nella fattispecie non hai dimostrato niente?
PUNTO1: con la seconda affermazione che ho fatto
PUNTO2: per vedere se essa è un'ellissi o una parabola o un'iperbole devo vedere il suo delta, se e solo se esso è minore di zero è un'ellissi, se e solo se esso è ugule a uno esso è una parabole e se e solo se esso è maggiore di uno esso è un'iperbole.
quindi vedendo che il delta è minore di zero, non solo abbiamo stabiloto che la curva è una conica, ma è in special modo un'ellissi.
in questo modo ho verificato anche che questa curva non potrà mai essere una parabola, rispondendo in questo modo al tuo ultimo quesito
"fu^2":ho stabilito che la curva è una conica.
*è una condizione sufficiente e necessaria che i termini di secondo grado e il termine misto non siano tutti e tre contemporaneamenti nulli.
se i tre termini fossero tutti e tre contemporaneamente nulli la curva sarebbe una conica degenera e quindi nn soddisferebbe più la sua definizione.
PUNTO2: per vedere se essa è un'ellissi o una parabola o un'iperbole devo vedere il suo delta, se e solo se esso è minore di zero è un'ellissi, se e solo se esso è ugule a uno esso è una parabole e se e solo se esso è maggiore di uno esso è un'iperbole.
"fu^2":
($x^2+y^2=sin(x+y)$
vediamo che $sin(x+y)$ può assumere solo valori compresi tra -1 e 1
quidi sappiamo che la formula generale della conica è $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e nel nostro caso il termine misto è dato proprio da sin(x+y)
sappiamo inoltre che se il delta della conica è minore di zero esso rappresenterà un'ellissi, se sarà uguale a zero rappresenterà una parabole e se sarà maggiore di zero rappresenterà un'iperbole
ora calcoliamo il delta con i valori massimi che può assumere il termine misto, cioè -1 e 1, se saranno verificati per quelli, sarenno verificati anche per tutti i valori compresi tra i due, cioè più piccoli di -1 e 1
il $Delta=b^2-4ac$=$(-1)^2-4$che è minore di zero
cosa equivalente è sa usiamo 1.)
quindi vedendo che il delta è minore di zero, non solo abbiamo stabiloto che la curva è una conica, ma è in special modo un'ellissi.
in questo modo ho verificato anche che questa curva non potrà mai essere una parabola, rispondendo in questo modo al tuo ultimo quesito
no, fu^2, il problema è che la condizione $x^2+y^2=sin(x+y)$
non è del tipo $g(x,y)=0$, con $g(x,y)$ polinomio di secondo grado
per lo meno, non è palese chi possa essere questo polinomio
quindi non stiamo parlando di coniche (e quindi non si parla neanche del "$\Delta$"...)
a meno che tu non dimostri che la condizione data è equivalente a $g(x,y)=0$, con $g(x,y)$ polinomio di secondo grado
ma sta a te l'onere della prova!
ciao
non è del tipo $g(x,y)=0$, con $g(x,y)$ polinomio di secondo grado
per lo meno, non è palese chi possa essere questo polinomio
quindi non stiamo parlando di coniche (e quindi non si parla neanche del "$\Delta$"...)
a meno che tu non dimostri che la condizione data è equivalente a $g(x,y)=0$, con $g(x,y)$ polinomio di secondo grado
ma sta a te l'onere della prova!
ciao
Bell'esercizio ...
Per la tangente nell'origine basta il teorema delle funzioni implicite.
Per il resto, ho ragionato così.
La curva è simmetrica rispetto alla retta bisettrice $y=x$ (basta cambiare la x con la y che l'equazione della curva non cambia).
La curva interseca la $y=x$ in $(0,0)$ ed in $(a,a)$. In quei due punti, per il teorema delle funzioni implicite, ho tangenti univoche e parallele.
Per dimostrare che è una curva semplice, l'ho intersecata con il fascio di rette $x+y=k$ e ho visto che ottengo sempre due punti simmetrici (rispetto alla bisettrice).
Ho anche trovato la parametrizzazione per l'arco sopra la bisettrice :
x = (k-sqrt(2sink-k^2))/2
y = (k+sqrt(2sink-k^2))/2
e, per l'arco sotto la bisettrice :
x = (k+sqrt(2sink-k^2))/2
y = (k-sqrt(2sink-k^2))/2
dove $0<=k<=k_1$ essendo $k_1$ il valore che annulla i radicandi.
Salvo errori.
Ho ragionato da "fisico". Esiste un procedimento più semplice ?
Per la tangente nell'origine basta il teorema delle funzioni implicite.
Per il resto, ho ragionato così.
La curva è simmetrica rispetto alla retta bisettrice $y=x$ (basta cambiare la x con la y che l'equazione della curva non cambia).
La curva interseca la $y=x$ in $(0,0)$ ed in $(a,a)$. In quei due punti, per il teorema delle funzioni implicite, ho tangenti univoche e parallele.
Per dimostrare che è una curva semplice, l'ho intersecata con il fascio di rette $x+y=k$ e ho visto che ottengo sempre due punti simmetrici (rispetto alla bisettrice).
Ho anche trovato la parametrizzazione per l'arco sopra la bisettrice :
x = (k-sqrt(2sink-k^2))/2
y = (k+sqrt(2sink-k^2))/2
e, per l'arco sotto la bisettrice :
x = (k+sqrt(2sink-k^2))/2
y = (k-sqrt(2sink-k^2))/2
dove $0<=k<=k_1$ essendo $k_1$ il valore che annulla i radicandi.
Salvo errori.
Ho ragionato da "fisico". Esiste un procedimento più semplice ?
Non so se esiste un metodo più semplice...il docente diceva che sarebbe bastato un "trucchetto" che però non ho ancora scoperto, il tuo ragionamento lo devo ancora comprendere fino in fondo ma visto così sembra una buona intuizione! Ma basta dire che le intersezioni con il tuo fascio di rette sono sempre simmetriche rispetto la bisettrice per dire che è chiusa e regolare? ho dei dubbi in merito...
Grazie!
Grazie!
Per la semplicità, sicuramente.
Se la curva non fosse semplice ci sarebbero più di 2 intersezioni simmetriche da qualche parte.
Per l'essere chiusa, si può guardare le parametrizzazioni. Esse si "saldano" in $(0,0)$ ed $(a,a)$. Le derivate delle parametrizzazioni, però, divergono nei suddetti punti. Però subentra il teorema di Dini sulle funzioni implicite ad assicurarci che nei suddetti punti c'è la retta tangente (coeff. ang. -1).
Per il discorso della regolarità (che mi sembra non fosse richiesto nel testo originario) le parametrizzazioni in questione non lo sono nei due suddetti punti.
Allora, per semplificare la cosa, direi che la curva è regolare perchè è l'intersezione di due superfcie regolari, le :
$z = x^2+y^2-sin(x+y)$
$z=0$ .
Così si dovrebbe risolvere il problema della regolarità ...
ps. credo proprio che il "trucchetto" di cui parla il Professore sia porre $x+y=k$ ... Magari, se non è così, saresti così gentile di postarlo ? Sono curioso ...
Se la curva non fosse semplice ci sarebbero più di 2 intersezioni simmetriche da qualche parte.
Per l'essere chiusa, si può guardare le parametrizzazioni. Esse si "saldano" in $(0,0)$ ed $(a,a)$. Le derivate delle parametrizzazioni, però, divergono nei suddetti punti. Però subentra il teorema di Dini sulle funzioni implicite ad assicurarci che nei suddetti punti c'è la retta tangente (coeff. ang. -1).
Per il discorso della regolarità (che mi sembra non fosse richiesto nel testo originario) le parametrizzazioni in questione non lo sono nei due suddetti punti.
Allora, per semplificare la cosa, direi che la curva è regolare perchè è l'intersezione di due superfcie regolari, le :
$z = x^2+y^2-sin(x+y)$
$z=0$ .
Così si dovrebbe risolvere il problema della regolarità ...
ps. credo proprio che il "trucchetto" di cui parla il Professore sia porre $x+y=k$ ... Magari, se non è così, saresti così gentile di postarlo ? Sono curioso ...
Ho capito, grazie! Si, la regolarità non era richiesta in questo particolare esercizio ma mi sono posta lo stesso la domanda!lunedì prossimo provo a chiedere al mio professore qual'era il trucchetto che aveva in mente poi te lo dico!
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