Esercizio di analisi complessa

[Jerome1]

Salve a tutti! Volevo chiedere aiuto riguardo al seguente esercizio di analisi complessa (#3, pg 72 Ahlfors):

Sia [tex]f(z)[/tex] analitica tale che [tex]\lvert f(z)^2 - 1 \rvert < 1[/tex] in una regione [tex]\Omega[/tex]. Provare che [tex]\Re{(f(z))} > 0[/tex] oppure [tex]\Re{(f(z))}<0,\quad \forall z \in \Omega[/tex]

Grazie mille!

[Jerome1]

Ok, credo di aver risolto, ditemi voi se vi suona bene: si ha

(1) [tex]\lvert f(z)^2 -1 \rvert <1 \Rightarrow \Re{(f(z))} \ne 0[/tex]: infatti, se fosse [tex]\Re{(f(z))} = 0[/tex], si avrebbe [tex]f(z) = i v(z)[/tex], con [tex]v:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}[/tex], che implicherebbe [tex]\lvert f(z)^2 -1 \rvert = \lvert v(z)^2 +1 \rvert \ge 1[/tex], assurdo

(2) Poiché [tex]\Re{(f(z))}[/tex] è una funzione continua da [tex]\mathbb{C}[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex], manderà il connesso [tex]\Omega[/tex] in un connesso di [tex]\mathbb{R}[/tex], che necessariamente non conterrà [tex]0[/tex].

Da questo segue [tex]\Re{(f(z))}>0 \quad \forall z \in \Omega[/tex] oppure [tex]\Re{(f(z))}<0 \quad \forall z \in \Omega[/tex]

O almeno dovrebbe!

[dissonance]

A me sembra giusto. Bella soluzione.