Esercizio di analisi 2
Ciao a tutti! Ho un problema con esercizi di questo tipo:
Sia w: R3 -> R3 e poniamo g : R2 -> R3;
$ g(x; y) = w (x^3 + 5y; 5 x^2 y^3; (xy)^5 + 3 x e^(y^5)) $
Calcolare la matrice jacobiana di g nel punto (xo ; yo).
Come suggerimento dice di porre w=w(a,b,c).
La matrice jacobiana dovrebbe venire una 3x2, ma non capisco come si faccia. Nella prima colonna ci saranno le derivate rispetto alla x e nella seconda rispetto alla y, ma non capisco cosa mettere nelle tre righe. Forse ci vanno le derivate di w rispetto ad a, b, c, ma non sono sicura.
per favore datemi una mano! è urgente, l'esame è lunedì...
grazie mille!
Sia w: R3 -> R3 e poniamo g : R2 -> R3;
$ g(x; y) = w (x^3 + 5y; 5 x^2 y^3; (xy)^5 + 3 x e^(y^5)) $
Calcolare la matrice jacobiana di g nel punto (xo ; yo).
Come suggerimento dice di porre w=w(a,b,c).
La matrice jacobiana dovrebbe venire una 3x2, ma non capisco come si faccia. Nella prima colonna ci saranno le derivate rispetto alla x e nella seconda rispetto alla y, ma non capisco cosa mettere nelle tre righe. Forse ci vanno le derivate di w rispetto ad a, b, c, ma non sono sicura.
per favore datemi una mano! è urgente, l'esame è lunedì...
grazie mille!
Risposte
E' proprio un teorema che ti dice che se la funzione sopra è differenziabile in un punto, il differenziale in quel punto, che è una matrice $3x2$, ha le righe formate dalle derivate parziali di ciascuna delle tre funzioni fatte rispetto alle $2$ variabili disponibili calcolate nel medesimo punto.
La domanda che ti devi porre è, la funzione è differenziabile in quel punto? direi di si in questo caso, perchè c'è un altro teorema che ti dice che se le derivate parziali sono continue(ipotesi più forte, ma si può indebolire) in un punto, lì la funzione è differenziabile.
Le tre funzioni di cui parlo sono:
$f_1(x,y) = x^3+5y$;
$f_2(x,y) = 5x^2y^3$;
$f_3(x,y) = (xy)^5 + 3xe^(y^5))$.
La matrice Jacobiana è quella di cui sopra, il Jacobiano è il suo determinante.
edit: scusate ho detto una fesseria il determinante non c'è qui.
[edit]: comunque puoi trovare dei ragguagli, almeno per quel che concerne la rappresentazione, in questo link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana
La domanda che ti devi porre è, la funzione è differenziabile in quel punto? direi di si in questo caso, perchè c'è un altro teorema che ti dice che se le derivate parziali sono continue(ipotesi più forte, ma si può indebolire) in un punto, lì la funzione è differenziabile.
Le tre funzioni di cui parlo sono:
$f_1(x,y) = x^3+5y$;
$f_2(x,y) = 5x^2y^3$;
$f_3(x,y) = (xy)^5 + 3xe^(y^5))$.
La matrice Jacobiana è quella di cui sopra, il Jacobiano è il suo determinante.
edit: scusate ho detto una fesseria il determinante non c'è qui.
[edit]: comunque puoi trovare dei ragguagli, almeno per quel che concerne la rappresentazione, in questo link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana
La matrice ottenuta dalle derivate di
$ f1(x,y) = x^3 + 5y $
$ f2(x,y) = 5 x^2 y^3 $
$ f3(x,y) = (xy)^5 + 3xe^(y^5) $
rispetto alle variabili x e y è la matrice jacobiana della funzione $ h(x,y) = (x^3 + 5y; 5 x^2 y^3; (xy)^5 + 3 x e^(y^5)) $ dove $ h: R^2 -> R^3 $.
Questa funzione va però composta con $ w(a,b,c) $ e so che $ w: R^3 -> R^3 $. Ciò che devo trovare è la matrice jacobiana della funzione $ g = w o h $.
$ f1(x,y) = x^3 + 5y $
$ f2(x,y) = 5 x^2 y^3 $
$ f3(x,y) = (xy)^5 + 3xe^(y^5) $
rispetto alle variabili x e y è la matrice jacobiana della funzione $ h(x,y) = (x^3 + 5y; 5 x^2 y^3; (xy)^5 + 3 x e^(y^5)) $ dove $ h: R^2 -> R^3 $.
Questa funzione va però composta con $ w(a,b,c) $ e so che $ w: R^3 -> R^3 $. Ciò che devo trovare è la matrice jacobiana della funzione $ g = w o h $.
quella è una funzione composta. se non è stata definita la funzione w, devi semplicemente esprimere la sua matrice jacobiana come $ J_w $. faccio presente che $ J_w $ è una matrice 3*3, mentre la funzione interna di w è una funzione vettoriale di due variabili, la cui jacobiana sarà una 3*2, quindi il prodotto tra matrici ti darà una 3*2. quello che devi fare praticamente è calcolare la matrice della funzione interna
Della funzione w so che $ w: R^3 -> R^3 $ e che devo porre $ w=w(a,b,c) $.
La matrice della funzione interna la so trovare, è la matrice della funzione w che non so come determinare. Avevo pensato che magari poteva essere indicata come
$ (dw1)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw1)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw1)/(dc) (h(xo,yo)) $
$ (dw2)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw2)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw2)/(dc) (h(xo,yo)) $
$ (dw3)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw3)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw3)/(dc) (h(xo,yo)) $
ma non so se va bene.
La matrice della funzione interna la so trovare, è la matrice della funzione w che non so come determinare. Avevo pensato che magari poteva essere indicata come
$ (dw1)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw1)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw1)/(dc) (h(xo,yo)) $
$ (dw2)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw2)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw2)/(dc) (h(xo,yo)) $
$ (dw3)/(da) (h(xo,yo)) $ $ (dw3)/(db) (h(xo,yo)) $ $ (dw3)/(dc) (h(xo,yo)) $
ma non so se va bene.
no, io la lascerei espressa come $ J_w $. comunque perdonami ma con quella scrittura vado in confusione.
Penso che però la mia prof di analisi non la vuole lasciata indicata, ma vuole che la indichiamo rispetto alle variabili a, b e c perchè lo dice nel suggerimento.
Non avevo letto la funzione composta, ma non vedo il problema, e mi pare che enr87 te lo abbia spiegato più sopra, devi solo semplicemente calcolare la prima matrice $3x3$, differenziale di $w$ in $(a_o,b_o,c_o)$ con:
$a_o=f_1(x_o,y_o)$
$b_o=f_2(x_o,y_o)$
$c_o=f_3(x_o,y_o)$
Poi calcolare la matrice $3x2$, differenziale di $g$, come ti ho suggerito sopra, nel punto $(x_o,y_o)$ . E moltiplicarle. Per avere un $3x2$.
[edit] si chiama differenziale di funzione composta, e c'è un teorema che ti autorizza a procedere con il prodotto come ti ho suggerito sopra.
$a_o=f_1(x_o,y_o)$
$b_o=f_2(x_o,y_o)$
$c_o=f_3(x_o,y_o)$
Poi calcolare la matrice $3x2$, differenziale di $g$, come ti ho suggerito sopra, nel punto $(x_o,y_o)$ . E moltiplicarle. Per avere un $3x2$.
[edit] si chiama differenziale di funzione composta, e c'è un teorema che ti autorizza a procedere con il prodotto come ti ho suggerito sopra.
ora non mi ricordo il codice per scirvere le matrici, comunque ponendo w=(a,b,c) ottieni una cosa del genere (indico le derivate parziali con d):
$ da/dx \ da/dy \ da/dz $
$ db/dx \ db/dy \ db/dz $
$ dc/dx \ dc/dy \ dc/dz $
è una matrice calcolata nel punto (x_0, y_0) ma non lo scrivo esplicitamente per non incasinare.
non vorrei dire una cretinata, ma mi pare che le derivate rispetto a z si annullino (essendo a, b, c funzioni del tipo $ \phi(x,y) $)
$ da/dx \ da/dy \ da/dz $
$ db/dx \ db/dy \ db/dz $
$ dc/dx \ dc/dy \ dc/dz $
è una matrice calcolata nel punto (x_0, y_0) ma non lo scrivo esplicitamente per non incasinare.
non vorrei dire una cretinata, ma mi pare che le derivate rispetto a z si annullino (essendo a, b, c funzioni del tipo $ \phi(x,y) $)
Devo porre $ w=w(a,b,c) $ e non w=(a,b,c), quindi a, b e c sono le tre variabili delle tre funzioni di w, poichè w è una funzione $ R^3 -> R^3 $. Però le tre funzioni di w non le conosco quindi pensavo di indicarle con w1, w2 e w3, non so se vada bene come ragionamento.
Conosco il teorema del differenziale di funzioni composte e so che devo moltiplicare la matrice jacobiana 3x3 ottenuta differenziando w(a,b,c) nel punto h(xo,yo) per la matrice jacobiana 3x2 ottenuta differenziando h(x,y) nel punto (xo,yo), e otterrò la matrice jacobiana 3x2 della funzione g(x,y).
Il mio problema è come devo esprimere la prima matrice 3x3.
Conosco il teorema del differenziale di funzioni composte e so che devo moltiplicare la matrice jacobiana 3x3 ottenuta differenziando w(a,b,c) nel punto h(xo,yo) per la matrice jacobiana 3x2 ottenuta differenziando h(x,y) nel punto (xo,yo), e otterrò la matrice jacobiana 3x2 della funzione g(x,y).
Il mio problema è come devo esprimere la prima matrice 3x3.
ops, ho fatto confusione.. dammi un attimo che vedo se riesco a correggere senza incasinarmi troppo
grazie mille! di sicuro sono io che sto facendo una gran confusione 
è da ieri che sono su questo tipo di esercizi e non ne posso più!
è da ieri che sono su questo tipo di esercizi e non ne posso più!
ok, ho riletto e la tua matrice di prima era corretta, o almeno sembra
@enr87 $z$ non c'è.
$w(a,b,c)={w_1(a,b,c),w_2(a,b,c),w_3(a,b,c)}$
$a = f_1(x,y)$
$b = f_2(x,y)$
$c = f_3(x,y)$
$g=g(x,y)={f_1(x,y),f_2(x,y),f_3(x,y)}$
$h(x,y)=w[g(x,y)]$ allora $h'(x_o,y_o)=w^{\prime}[g(x_o,y_o)]*g^{\prime}(x_o,y_o)$
$w^{\prime}(a_o,b_o,c_o) = (((delta w_1)/(delta a) (delta w_1)/(delta b)(delta w_1)/(delta c)),((delta w_2)/(delta a) (delta w_2)/(delta b)(delta w_2)/(delta c)),((delta w_3)/(delta a) (delta w_3)/(delta b)(delta w_3)/(delta c)))(a_o,b_o,c_o)$ (questa notazione significa che ogni termine della matrice dev'essere calcolato in quel punto)
A questo punto fai la stessa cosa con $g$, ma calcola in $(x_o,y_o)$ e poi moltiplica le due matrici.
[edit] ho notato dopo che ho postato che ti eri corretto.
$w(a,b,c)={w_1(a,b,c),w_2(a,b,c),w_3(a,b,c)}$
$a = f_1(x,y)$
$b = f_2(x,y)$
$c = f_3(x,y)$
$g=g(x,y)={f_1(x,y),f_2(x,y),f_3(x,y)}$
$h(x,y)=w[g(x,y)]$ allora $h'(x_o,y_o)=w^{\prime}[g(x_o,y_o)]*g^{\prime}(x_o,y_o)$
$w^{\prime}(a_o,b_o,c_o) = (((delta w_1)/(delta a) (delta w_1)/(delta b)(delta w_1)/(delta c)),((delta w_2)/(delta a) (delta w_2)/(delta b)(delta w_2)/(delta c)),((delta w_3)/(delta a) (delta w_3)/(delta b)(delta w_3)/(delta c)))(a_o,b_o,c_o)$ (questa notazione significa che ogni termine della matrice dev'essere calcolato in quel punto)
A questo punto fai la stessa cosa con $g$, ma calcola in $(x_o,y_o)$ e poi moltiplica le due matrici.
[edit] ho notato dopo che ho postato che ti eri corretto.
sì, ho scritto sopra che ho sbagliato prima 
Grazie mille! Il mio dubbio era se andasse bene indicare w come $ w(a,b,c)=(w1(a,b,c),w2(a,b,c),w3(a,b,c)) $ o se invece non fosse necessarrio indicare w1, w2 e w3 perchè in qualche modo di potessero ricavare dal testo... ora è chiaro! grazie ancora!
Spero solo che domani l'esercizio d'esame sul differenziale di funzioni composte sia meno laborioso...
Spero solo che domani l'esercizio d'esame sul differenziale di funzioni composte sia meno laborioso...
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