Esercizio di analisi 2
Salve,
chiederei gentilmente una mano sul seguente esercizio:
fino al calcolo del versore tangente non ho problemi, anzi l' esercizio è abbastanza banale.
Tuttavia dal calcolo dell' accelerazione in poi non capisco ne cosa faccia ne come lo faccia.
Per trovare il versore normale non poteva derivare due volte la curva e normalizzare?
Quell' accelerazione da dove salta fuori?
Inoltre non capisco la relazione finale a cosa serva e dove la tiri fuori, sinceramente non ho trovato alcu materiale a riguardo...
Grazie
chiederei gentilmente una mano sul seguente esercizio:
fino al calcolo del versore tangente non ho problemi, anzi l' esercizio è abbastanza banale.
Tuttavia dal calcolo dell' accelerazione in poi non capisco ne cosa faccia ne come lo faccia.
Per trovare il versore normale non poteva derivare due volte la curva e normalizzare?
Quell' accelerazione da dove salta fuori?
Inoltre non capisco la relazione finale a cosa serva e dove la tiri fuori, sinceramente non ho trovato alcu materiale a riguardo...
Grazie
Risposte
Dovresti sapere che, in generale, vale la relazione
$$r''=aT+bN $$
Dove $a,b $ sono le componenti tangenziali e normali della derivata seconda. Allora facendo il prodotto scalare
$$r''\bullet T=a $$
Dal momento che
$$T\bullet T=|T|^2=1,\quad T\bullet N=0$$
Visto che il vettore tangente ha norma 1 e i due vettori sono ortogonali.
Ma allora
$$a=(0,-1/x^2)\bullet (x,1)/\sqrt{1+x^2} $$
$$r''=aT+bN $$
Dove $a,b $ sono le componenti tangenziali e normali della derivata seconda. Allora facendo il prodotto scalare
$$r''\bullet T=a $$
Dal momento che
$$T\bullet T=|T|^2=1,\quad T\bullet N=0$$
Visto che il vettore tangente ha norma 1 e i due vettori sono ortogonali.
Ma allora
$$a=(0,-1/x^2)\bullet (x,1)/\sqrt{1+x^2} $$
ok vediamo se ho capito...
sfruttando
$r′′=aT+bN$
Trovo l' accelerazione tangenziale
$a=(0,-1/x^2) \cdot(x,1)/\sqrt{1+x^2}$
e quindi nulla difficile(a patto di conoscere la relazione che hai scritto all' inizio!!)
ora il mio dubbio è come fa a trovarsi la curvatura e il versore normale sfruttando quella relazione?
sfruttando
$r′′=aT+bN$
Trovo l' accelerazione tangenziale
$a=(0,-1/x^2) \cdot(x,1)/\sqrt{1+x^2}$
e quindi nulla difficile(a patto di conoscere la relazione che hai scritto all' inizio!!)
ora il mio dubbio è come fa a trovarsi la curvatura e il versore normale sfruttando quella relazione?
Ciao, scusa poi ho oggi ho avuto da fare e non ho potuto risponderti in modo adeguato. Dunque, mi pare di capire che tu non conosca le nozioni di base della terna di Frenét e come essa si costruisce: [url=http://it.wikiversity.org/wiki/Curve:_rappresentazione_e_propriet%C3%A0]qui[/url] ti puoi fare un'idea veloce di quelle formule di cui ti parlavo, mentre questa è una spiegazione più dettagliata della situazione. In generale comunque con una ricerca google trovi quanta roba vuoi.
innanzittutto grazie per la risposta,
in effetti non conoscevo la terna di Frenét, ma non capisco come il mio libro di analisi 2 nel capitolo sulle curve non ne tratti (Bramanti,Pagani,Salsa "Matematica calcolo infinitesimale e algebra lineare").
Comunque, vediamo se ho capito(che poi aldilà della risoluzione dell' esercizio è quello che mi interessa)...
Applico questa relazione:
$r''=aT+bN$
e mi trovo la componente tangenziale dell' accelerazione.
Poi applico la formula per il calcolo della curvatura
$\kappa = | (x'y''-y'x'')/(x'^2+y'^2)^(3/2)|$
che, avendo io una curva in forma esplicita, si riduce a:
$ \kappa = (y'')/(1+(y')^2)^(3/2)$
Trovata la curvatura $\kappa$ sono pronto ad utilizzare l' ultima relazione utilizzata dal prof.
calcolandomi cosi il versore' normale...
E' corretto il discorso che ho fatto?
in effetti non conoscevo la terna di Frenét, ma non capisco come il mio libro di analisi 2 nel capitolo sulle curve non ne tratti (Bramanti,Pagani,Salsa "Matematica calcolo infinitesimale e algebra lineare").
Comunque, vediamo se ho capito(che poi aldilà della risoluzione dell' esercizio è quello che mi interessa)...
Applico questa relazione:
$r''=aT+bN$
e mi trovo la componente tangenziale dell' accelerazione.
Poi applico la formula per il calcolo della curvatura
$\kappa = | (x'y''-y'x'')/(x'^2+y'^2)^(3/2)|$
che, avendo io una curva in forma esplicita, si riduce a:
$ \kappa = (y'')/(1+(y')^2)^(3/2)$
Trovata la curvatura $\kappa$ sono pronto ad utilizzare l' ultima relazione utilizzata dal prof.
calcolandomi cosi il versore' normale...
E' corretto il discorso che ho fatto?
Yes.
allora ho applicato la formula, ma purtroppo non a me viene un risultato diverso:
$\kappa=-1/x^2/\sqrt((1+1/x^2)^3)$
svolgendo i vari calcoli(che a me sembrano banali) mi viene fuori:
$\kappa=-x/\sqrt((x^2+)^3)$
è un' ora che cio sbatto la testa, ma non riesco a capire dove sbaglio...
inoltre andando avanti con gli esercizi mi sono imbattuto in una cosa
ecco...a me sembra di capire che calcolando la derivata seconda riesca gia a trovarla con la varie componenti in evidenza
riesco ad intuire come faccia(credo che durante la derivatione mantenga"separate" le componenti dei vettori, cosi da ottenere alla fine i versori tangente e normale), tuttavia non colgo appieno ne il senso ne il procidemento pratico...
ti sarei grato se sapessi aiutarmi anche su questa cosa, che mi sembra strettamente correlata all' esercizio precedente
Grazie...
N.B. in altri esercizi a volte applica la formula per il calcolo diretto della curvatura ma piuttosto raramente, e non riesco a capire se il criterio sia solo di convenienza, di didattica o ci sia qualche altra ragione...
$\kappa=-1/x^2/\sqrt((1+1/x^2)^3)$
svolgendo i vari calcoli(che a me sembrano banali) mi viene fuori:
$\kappa=-x/\sqrt((x^2+)^3)$
è un' ora che cio sbatto la testa, ma non riesco a capire dove sbaglio...
inoltre andando avanti con gli esercizi mi sono imbattuto in una cosa
ecco...a me sembra di capire che calcolando la derivata seconda riesca gia a trovarla con la varie componenti in evidenza
riesco ad intuire come faccia(credo che durante la derivatione mantenga"separate" le componenti dei vettori, cosi da ottenere alla fine i versori tangente e normale), tuttavia non colgo appieno ne il senso ne il procidemento pratico...
ti sarei grato se sapessi aiutarmi anche su questa cosa, che mi sembra strettamente correlata all' esercizio precedente
Grazie...
N.B. in altri esercizi a volte applica la formula per il calcolo diretto della curvatura ma piuttosto raramente, e non riesco a capire se il criterio sia solo di convenienza, di didattica o ci sia qualche altra ragione...
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