Esercizio di analisi
Viene richiesto di calcolare $\lim_{n \rightarrow \infty} (1/{\sqrt(n+1}) + \cdots + 1/(sqrt(2n)))$ (con $n \in \mathbb{N}$)
Ora, so che se due successioni sono infinitesime, allora la loro somma è infinitesa....
Io pensavo di poter usare questo risultato per "eliminare" a due a due tutti i termini di quella somma.. Trovando alla fine che rimane solo un termine, che, sempre per il risultato esposto sopra, è infinitesimo.... Tuttavia devo aver sbagliato qualcosa nel ragionamento, poiché tale limite viene divergente a quanto ho letto.... Come mai il risultato da me usato non funziona? Sarà che non può essere esteso induttivamente? Mah....
Vi ringrazio in anticipo dell'aiuto!!
Ora, so che se due successioni sono infinitesime, allora la loro somma è infinitesa....
Io pensavo di poter usare questo risultato per "eliminare" a due a due tutti i termini di quella somma.. Trovando alla fine che rimane solo un termine, che, sempre per il risultato esposto sopra, è infinitesimo.... Tuttavia devo aver sbagliato qualcosa nel ragionamento, poiché tale limite viene divergente a quanto ho letto.... Come mai il risultato da me usato non funziona? Sarà che non può essere esteso induttivamente? Mah....
Vi ringrazio in anticipo dell'aiuto!!
Risposte
prova ad usare il confronto ... osserva che:
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}};$$
inoltre
$$\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}} \le \ \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}\ \le \ \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+ \cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}.$$
Da qui dovresti concludere...
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}};$$
inoltre
$$\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\frac{1}{\sqrt{n+n}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n+n}} \le \ \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}\ \le \ \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+ \cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}.$$
Da qui dovresti concludere...
Sì, in effetti con il confronto si può osservare che la successione considerata maggiora la successione $\sqrt(n/2)$, che diverge.... quindi si conclude per il criterio del confronto.. Tuttavia, utilizzando il metodo che ho esposto nel primo post esce tutt'altro, nonostante sembri di per sé valido.. Vorrei capire qual è il problema correlato all'utilizzo di quel metodo! 
In realtà non si conclude per l'osservazione che hai fatto, ma perchè
$$ \frac{n}{\sqrt{n+n}}\le \ \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}\ \le \frac{n}{\sqrt{n}};$$
passando ai limiti otteniamo:
$$\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n\sqrt{2n}}{2n}=+\infty \qquad \text{e}\qquad \lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n}}=\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n\sqrt{n}}{n}=+\infty$$
possiamo concludere che, per confronto,
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k}=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}=+\infty.$$
il tuo metodo non può funzionare perchè stai facendo una somma infinita (un limite), e non una somma finita di addendi infinitesimi; infatti
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\ \frac{1}{\sqrt{2n}},$$
che è una serie divergente.
$$ \frac{n}{\sqrt{n+n}}\le \ \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}\ \le \frac{n}{\sqrt{n}};$$
passando ai limiti otteniamo:
$$\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n+n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n \to+\infty}\frac{n\sqrt{2n}}{2n}=+\infty \qquad \text{e}\qquad \lim_{n \to+\infty} \ \frac{n}{\sqrt{n}}=\lim_{n \to+\infty} \ \frac{n\sqrt{n}}{n}=+\infty$$
possiamo concludere che, per confronto,
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k}=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}=+\infty.$$
il tuo metodo non può funzionare perchè stai facendo una somma infinita (un limite), e non una somma finita di addendi infinitesimi; infatti
$$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{n+k}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\ \frac{1}{\sqrt{2n}},$$
che è una serie divergente.
Mmmh.... Capito.... Quindi si può estendere solo per somme finite il criterio di cui parlavo.... Ecco perché non può funzionare.. Ti ringrazio
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