Esercizio d'esame su numeri complessi
Salve ragazzi,
mi sto esercitando in vista dell'esame di Analisi 1, sulle prove d'esame che il prof ha reso disponibili.
Sui numeri complessi me la cavo abbastanza bene, per quanto riguarda la risoluzione di equazioni, trovare le radici, trasformare in forma trigonometrica...etc.
C'è però quest'esercizio che è ricorrente che non so proprio come impostare. Qualcuno sa risolverlo? Vorrei capirne il procedimento, visto che è frequente che esca all'esame.
Indicare il più piccolo intero positivo n tale che $ (sqrt2/2 +sqrt2/2i)^n = -i $ .
Grazie in anticipo a chi saprà aiutarmi!
mi sto esercitando in vista dell'esame di Analisi 1, sulle prove d'esame che il prof ha reso disponibili.
Sui numeri complessi me la cavo abbastanza bene, per quanto riguarda la risoluzione di equazioni, trovare le radici, trasformare in forma trigonometrica...etc.
C'è però quest'esercizio che è ricorrente che non so proprio come impostare. Qualcuno sa risolverlo? Vorrei capirne il procedimento, visto che è frequente che esca all'esame.
Indicare il più piccolo intero positivo n tale che $ (sqrt2/2 +sqrt2/2i)^n = -i $ .
Grazie in anticipo a chi saprà aiutarmi!
Risposte
Nota che $cos(pi/4)= sin(pi/4)= sqrt2/2$, quindi $(sqrt2/2 +sqrt2/2 i)^n = (cos(pi/4)+i sin(pi/4))^n = (e^{i pi/4})^n= e^{i * n *pi/4}$
Ti ringrazio. Quindi alla fine come risolvo? Il piu piccolo n qual è?
Inoltre, quando ho questo tipo di esercizio devo sempre cercare di ricondurmi a questa forma?
Inoltre, quando ho questo tipo di esercizio devo sempre cercare di ricondurmi a questa forma?
Sai come mettere $-i$ in forma esponenziale?
Si, mi calcolo modulo e argomento ed utilizzo l'identità di eulero giusto? Dall'uguaglianza ricavo n, è corretto?
"flany.91":
Si, mi calcolo modulo e argomento ed utilizzo l'identità di eulero giusto? Dall'uguaglianza ricavo n, è corretto?
Vabbe, in modo più veloce basta che pensi a dove sta nel piano di Gauss, cioè nel punto più bassi della circonferenza unitaria. Quindi l'angolo è $\frac{3}{2}\pi$ e la forma esponenziale $e^{i\frac{3}{2}\pi}$.
Il tutto si riduce a:
\[
\frac{3}{2}\pi=n\frac{\pi}{4}.
\]
Se non sono fulminato (e scusate oggi lo sono un pochino)
Sì, ci siamo. Più precisamente, abbiamo $e^{i * n * pi/4} = e^{i 3/2 pi}$, da cui
$n pi/4 = 3/2 pi +2 k pi$, $k in ZZ $, cioè $n = 6+8 k $, $k in ZZ$.
Quindi ci sono infinite soluzioni. La più piccola tra gli interi positivi è $n=6$.
$n pi/4 = 3/2 pi +2 k pi$, $k in ZZ $, cioè $n = 6+8 k $, $k in ZZ$.
Quindi ci sono infinite soluzioni. La più piccola tra gli interi positivi è $n=6$.
"Gi8":
Sì, ci siamo. Più precisamente, abbiamo $e^{i * n * pi/4} = e^{i 3/2 pi}$, da cui
$n pi/4 = 3/2 pi +2 k pi$, $k in ZZ $, cioè $n = 6+8 k $, $k in ZZ$.
Quindi ci sono infinite soluzioni. La più piccola tra gli interi positivi è $n=6$.
Uh sì, periodicità e tutto. Come dimenticarle
$ZZ$ e $\mathbb{Z}$
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