Esercizio d'esame: Integrale
Salve 
Stavo provando a fare questo esercizio del mio professore:
f(x) := \( \int_{x}^{2x} \frac{1}{1+t\ln(t)}\, dt \)
E ho tre domande a cui rispondere sull'esercizio:
1) \( \lim_{x\rightarrow 0} \) e \( \lim_{x\rightarrow \infty } \) di f(x)
2) max e min di f(x)
3) Intervalli di monotonia
Per la prima domanda ho pensato che:
Se sostituisco 0 alla x, ottengo un integrale da 0 a 0, che fa 0 (giusto?) e all'infinito invece non saprei da dove iniziare.
Per la seconda domanda ho pensato che:
La derivata di un integrale è l'argomento dell'integrale [che ora chiamerò g(t)] , no? Quindi qualsiasi sia f(x), f'(x) è sempre g(2x) - g(x) (giusto?), lo pongo uguale a 0 e risolvo trovando poi i punti di massimo e minimo (a me è uscito 1/4, 0 e guardando il grafico, azzarderei pure un infinito)
Per la terza domanda ho pensato che:
In realtà ho molti dubbi per questa domanda, infatti ho pensato ci possano essere due modi per risolverla.
Stavo provando a fare questo esercizio del mio professore:
f(x) := \( \int_{x}^{2x} \frac{1}{1+t\ln(t)}\, dt \)
E ho tre domande a cui rispondere sull'esercizio:
1) \( \lim_{x\rightarrow 0} \) e \( \lim_{x\rightarrow \infty } \) di f(x)
2) max e min di f(x)
3) Intervalli di monotonia
Per la prima domanda ho pensato che:
Se sostituisco 0 alla x, ottengo un integrale da 0 a 0, che fa 0 (giusto?) e all'infinito invece non saprei da dove iniziare.
Per la seconda domanda ho pensato che:
La derivata di un integrale è l'argomento dell'integrale [che ora chiamerò g(t)] , no? Quindi qualsiasi sia f(x), f'(x) è sempre g(2x) - g(x) (giusto?), lo pongo uguale a 0 e risolvo trovando poi i punti di massimo e minimo (a me è uscito 1/4, 0 e guardando il grafico, azzarderei pure un infinito)
Per la terza domanda ho pensato che:
In realtà ho molti dubbi per questa domanda, infatti ho pensato ci possano essere due modi per risolverla.
- 1. Semplicemente x[0;1/4], dove la derivata prima è sempre positiva e x[1/4; +infinito]
2. Oppure derivata seconda e poi la studio[/list:u:w12zd06h]
Quindi, le strade che ho pensato per la soluzione dell'esercizio sono esatte oppure ho fatto qualche (madornale) errore?
Mi rivolgo a voi che ne sapete sicuramente più di me.
Grazie in anticipo
Risposte
we 
$F(x)=int_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dt$
allora.. per la prima domanda si potrebbe fare una cosa più tecnica che però secondo me da i giusti risultati.
A volte trovarsi un integrale del tipo
può essere la migliore situazione per scavarsi la fossa. Perché sostanzialmente so che il segmento individuato dall'intervallo degenera in punto. Ma cosa posso dire dell'altezza? Quindi secondo me la prima cosa da fare è vedere se in quel punto l'altezza sia finita o meno. Per questo calcolerei il seguente limite
essendo un valore finito, otterremmo una figura che rappresenta un segmento di lunghezza finita. Quindi possiamo tranquillamente dire che l'area sia zero.
per quanto riguarda il lavoro all'infinito, una buona strada può essere la seguente. Intanto calcolerei la derivata dell'integranda per vedere dove cresce/decresce
$-lnt-1geq0<=>lntleq-1$ ovvero $0
dunque l'integranda decresce $foralltin(1/e+infty):tinRR$ a cosa mi serve? ora so come sono combinati gli estremi di integrazione. Ovvero comunque fissi il valore della variabile, avrò che la funzione calcolata in $2x$ sarà minore alla funzione calcolata in $x$... questo è ovvio per la decrescenza!
$max{1/(1+xln(x)),1/(1+2xln(2x))}=1/(1+xln(x))$
$min{1/(1+xln(x)),1/(1+2xln(2x))}=1/(1+2xln(2x))$
questo in un generico intervallo del tipo $[x,2x]$ dove essendo che di $x$ ne terremo conto in un intorno di $+infty$ possiamo dire tranquillamente che sarà decrescente quell'intorno. Allora possiamo impostare la seguente disuguaglianza
integrando membro a membro rispetto a $t$
geometricamente abbiamo maggiorato/minorato l'area definita dalla funzione $f(t)$ nell'intervallo $[x,2x]$ con due rettangoli che hanno come altezza rispettivamente il minimo e il massimo nello stesso intervallo. Un po' come si fa nella dimostrazione della media integrale. Beh ora basta calcolare i limiti esterni e per il teorema del confronto si conclude.
per la seconda domanda hai sbagliato il calcolo della derivata, infatti:
naturalmente $g(x),h(x)$ devono essere derivabili in un dato intervallo.
nel nostro caso quindi $D[int_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dt]=2/(1+2xln(2x))-1/(1+xlnx)$
Ora.. facendo la derivata troviamo la variazione dell'area rispetto a un intervallo del tipo $[x,2x]$ quindi se per esempio la derivata mi dovesse riportare un massimo, sarebbe dato dal fatto che ho un intervallo in cui l'area risulta maggiore di qualunque altra area calcolata in un altro intervallo di quel tipo.
risolvendo la disequazione si trova che $F'(x)geq0 if 0
dunque se $x in(0,1/(2ln2))$ allora l'area calcolata negli intervalli comincia a crescere
se $x=1/(2ln2)$ l'area è stazionaria. In particolare è un punto di massimo per la funzione ovvero l'area è massima in quell'intervallo se scelgo come valore $x=...$
-------- se $x>1/(2ln2)$ l'area calcolata negli intervalli comincia a decrescere
naturalmente tutto questo prendo un intervallo del tipo $[x,2x]$ ovvero la derivata mi rappresenta come varia l'area della funzione prendendo quei due estremi. Quindi, che ne so, cosa può voler dire che la funzione integrale è massima in $x=1/(2ln2)$? l'area calcolata nell'intervallo $[1/(2ln2),2/(2ln2)]$ è maggiore di qualunque altra area calcolata in un qualunque altro intervallo del tipo $[x,2x],x inRR^>:xne1/(2ln2)$
spero di aver fatto tutto giusto
$F(x)=int_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dt$
allora.. per la prima domanda si potrebbe fare una cosa più tecnica che però secondo me da i giusti risultati.
A volte trovarsi un integrale del tipo
$int_(0)^(0)1/(1+tlnt)dt$
può essere la migliore situazione per scavarsi la fossa. Perché sostanzialmente so che il segmento individuato dall'intervallo degenera in punto. Ma cosa posso dire dell'altezza? Quindi secondo me la prima cosa da fare è vedere se in quel punto l'altezza sia finita o meno. Per questo calcolerei il seguente limite
$lim_(t->0^+)1/(1+tlnt)=1$
essendo un valore finito, otterremmo una figura che rappresenta un segmento di lunghezza finita. Quindi possiamo tranquillamente dire che l'area sia zero.
per quanto riguarda il lavoro all'infinito, una buona strada può essere la seguente. Intanto calcolerei la derivata dell'integranda per vedere dove cresce/decresce
$f'(t)=-(lnt+1)/(1+tlnt)^2$
$-lnt-1geq0<=>lntleq-1$ ovvero $0
dunque l'integranda decresce $foralltin(1/e+infty):tinRR$ a cosa mi serve? ora so come sono combinati gli estremi di integrazione. Ovvero comunque fissi il valore della variabile, avrò che la funzione calcolata in $2x$ sarà minore alla funzione calcolata in $x$... questo è ovvio per la decrescenza!
$max{1/(1+xln(x)),1/(1+2xln(2x))}=1/(1+xln(x))$
$min{1/(1+xln(x)),1/(1+2xln(2x))}=1/(1+2xln(2x))$
questo in un generico intervallo del tipo $[x,2x]$ dove essendo che di $x$ ne terremo conto in un intorno di $+infty$ possiamo dire tranquillamente che sarà decrescente quell'intorno. Allora possiamo impostare la seguente disuguaglianza
$1/(1+2xln(2x))leq1/(1+tlnt)leq1/(1+xlnx),foralltin[x,2x]:tinRR$
integrando membro a membro rispetto a $t$
$int_(x)^(2x)1/(1+2xln(2x))dtleqint_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dtleqint_(x)^(2x)1/(1+xlnx)dt$
geometricamente abbiamo maggiorato/minorato l'area definita dalla funzione $f(t)$ nell'intervallo $[x,2x]$ con due rettangoli che hanno come altezza rispettivamente il minimo e il massimo nello stesso intervallo. Un po' come si fa nella dimostrazione della media integrale. Beh ora basta calcolare i limiti esterni e per il teorema del confronto si conclude.
per la seconda domanda hai sbagliato il calcolo della derivata, infatti:
$D[int_(g(x))^(h(x))f(t)dt]=f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x)$
naturalmente $g(x),h(x)$ devono essere derivabili in un dato intervallo.
nel nostro caso quindi $D[int_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dt]=2/(1+2xln(2x))-1/(1+xlnx)$
$F'(x)geq0=> 2/(1+2xln(2x))-1/(1+xlnx)geq0$
Ora.. facendo la derivata troviamo la variazione dell'area rispetto a un intervallo del tipo $[x,2x]$ quindi se per esempio la derivata mi dovesse riportare un massimo, sarebbe dato dal fatto che ho un intervallo in cui l'area risulta maggiore di qualunque altra area calcolata in un altro intervallo di quel tipo.
risolvendo la disequazione si trova che $F'(x)geq0 if 0
dunque se $x in(0,1/(2ln2))$ allora l'area calcolata negli intervalli comincia a crescere
se $x=1/(2ln2)$ l'area è stazionaria. In particolare è un punto di massimo per la funzione ovvero l'area è massima in quell'intervallo se scelgo come valore $x=...$
-------- se $x>1/(2ln2)$ l'area calcolata negli intervalli comincia a decrescere
naturalmente tutto questo prendo un intervallo del tipo $[x,2x]$ ovvero la derivata mi rappresenta come varia l'area della funzione prendendo quei due estremi. Quindi, che ne so, cosa può voler dire che la funzione integrale è massima in $x=1/(2ln2)$? l'area calcolata nell'intervallo $[1/(2ln2),2/(2ln2)]$ è maggiore di qualunque altra area calcolata in un qualunque altro intervallo del tipo $[x,2x],x inRR^>:xne1/(2ln2)$
spero di aver fatto tutto giusto
"anto_zoolander":
we
Ora.. facendo la derivata troviamo la variazione dell'area rispetto a un intervallo del tipo $[x,2x]$ quindi se per esempio la derivata mi dovesse riportare un massimo, sarebbe dato dal fatto che ho un intervallo in cui l'area risulta maggiore di qualunque altra area calcolata in un altro intervallo di quel tipo.
risolvendo la disequazione si trova che $F'(x)geq0 if 0In particolare $x=1/(2ln2)$ è un punto di massimo, questo cosa vuol dire? che $F(x)<1/(2ln2)$ in un intorno di quel punto. In particolare è un massimo assoluto, quindi per qualunque $x$ nel dominio della funzione integrale.
dunque se $x in(0,1/(2ln2))$ allora l'area calcolata negli intervalli comincia a crescere
se $x=1/(2ln2)$ l'area è stazionaria. In particolare è un punto di massimo per la funzione ovvero l'area è massima in quell'intervallo se scelgo come valore $x=...$
-------- se $x>1/(2ln2)$ l'area calcolata negli intervalli comincia a decrescere
naturalmente tutto questo prendo un intervallo del tipo $[x,2x]$ ovvero la derivata mi rappresenta come varia l'area della funzione prendendo quei due estremi. Quindi, che ne so, cosa può voler dire che la funzione integrale è massima in $x=1/(2ln2)$? l'area calcolata nell'intervallo $[1/(2ln2),2/(2ln2)]$ è maggiore di qualunque altra area calcolata in un qualunque altro intervallo del tipo $[x,2x],x inRR^>:xne1/(2ln2)$
spero di aver fatto tutto giusto
Intanto grazie
Comunque io mi sono perso nell'ultima parte: Parli di risolvere una disequazione, quale intendi precisamente?
"matthewcrn7":
Intanto grazie
Comunque io mi sono perso nell'ultima parte: Parli di risolvere una disequazione, quale intendi precisamente?
hai ragione, forse ho sottinteso troppo
la disequazione di cui parlo è la seguente$F'(x)=D[int_(x)^(2x)1/(1+tlnt)dt]=2/(1+2xln(2x))-1/(1+xlnx)geq0$
Ovvero trovare quando la derivata è crescente o nulla, e quindi anche decrescente così da trovare il punto di minimo/massimo.
Colgo l'occasione per aggiungere una cosa riguardo i punti di minimo.
Accennavi al fatto di azzardare che $+infty$ fosse un punto di minimo per la funzione, ma $+infty$ è un punto?
"anto_zoolander":
Accennavi al fatto di azzardare che $+infty$ fosse un punto di minimo per la funzione, ma $+infty$ è un punto?
Effettivamente ho ragionato troppo da grafico, voglio dire vedo che all'infinito la derivata tende a 0 e quindi dico che è un punto di minimo. Effettivamente non so se è sarebbe da definirlo un punto di minimo o meno.
Si ma sappiamo che il teorema fermat sui punti stazionari da una condizione necessaria per un punto di massimo o minimo, non sufficiente. Inoltre si applica per un determinato $x_0inRR$, quindi finito. Ultima cosa $x_0$ dovrebbe essere un punto dell'intervallo $(0,+infty)$. Casomai si può dire che $F(x)>linRR,forallx inRR^>$ perché in effetti la funzione è maggiore o uguale del valore dato dal limite.
Grazie delle delucidazioni sull'esercizio e sulla teoria ahah
Una soluzione più semplice per la prima parte del quesito 1.
Nota che la funzione integranda si prolunga con continuità su $0$ ponendo $f(0)=1$ e che essa si può assumere continua in tutto $[0,+oo[$.
Conseguentemente, comunque si fissi $x>0$, la funzione $f$ è continua in $[x,2x]$ e vale il Teorema della Media Integrale: quindi siamo sicuri che esiste un $\xi_x \in [x,2x]$ tale che:
\[
\int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t = f(\xi_x)\cdot (2x-x) = f(\xi_x)\cdot x\; .
\]
Dato che $f$ è continua in ogni intorno destro di $0$, essa è localmente limitata; perciò, a patto di prendere $x$ sufficientemente "piccolo" (ad esempio, $x<1/2$), abbiamo $f(x) <= M$ per qualche $M>0$; da ciò segue immediatamente che la quantità $f(\xi_x)$ è limitata per $x$ "piccolo" e dunque:
\[
\lim_{x\to 0^+} \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t = \lim_{x\to 0^+} f(\xi_x)\cdot x = 0\; .
\]
Nota che la funzione integranda si prolunga con continuità su $0$ ponendo $f(0)=1$ e che essa si può assumere continua in tutto $[0,+oo[$.
Conseguentemente, comunque si fissi $x>0$, la funzione $f$ è continua in $[x,2x]$ e vale il Teorema della Media Integrale: quindi siamo sicuri che esiste un $\xi_x \in [x,2x]$ tale che:
\[
\int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t = f(\xi_x)\cdot (2x-x) = f(\xi_x)\cdot x\; .
\]
Dato che $f$ è continua in ogni intorno destro di $0$, essa è localmente limitata; perciò, a patto di prendere $x$ sufficientemente "piccolo" (ad esempio, $x<1/2$), abbiamo $f(x) <= M$ per qualche $M>0$; da ciò segue immediatamente che la quantità $f(\xi_x)$ è limitata per $x$ "piccolo" e dunque:
\[
\lim_{x\to 0^+} \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t = \lim_{x\to 0^+} f(\xi_x)\cdot x = 0\; .
\]
Ma che \( f(0)=1 \) lo imponi tu, o lo trovi sostituendo 0 a x? (Quindi svolgendo il limite)
È sempre illuminante @gugo
Ha prolungato la funzione, rendendola continua a destra di $0$.
Ha prolungato la funzione, rendendola continua a destra di $0$.
"anto_zoolander":
È sempre illuminante @gugo
Ha prolungato la funzione, rendendola continua a destra di $0$.
quindi ha considerato \( t \ln t \) = 0 [ in modo tale che quello che rimane è comunque 1]?
Praticamente ha prolungato la funzione in questo senso: la funzione integranda nel suo dominio naturale viene considerata nell'intervallo $(0,+infty)$ poichè in $t=0$ la funzione non è definita. Però si può notare questo:
$lim_(t->0^+)f(t)=1$
Possiamo considerare una seconda funzione, prolungata rispetto a quella che stiamo considerando attualmente e così definita.
\(\displaystyle \widetilde{f} \)$(t):={(1/(1+tlnt)iftinRR^>),(1ift=0):}$
nota che ora
$lim_(t->0^+)1/(1+tlnt)=f(0)=1$
dunque la funzione è continua nell'intervallo $[0,+infty)$
$lim_(t->0^+)f(t)=1$
Possiamo considerare una seconda funzione, prolungata rispetto a quella che stiamo considerando attualmente e così definita.
\(\displaystyle \widetilde{f} \)$(t):={(1/(1+tlnt)iftinRR^>),(1ift=0):}$
nota che ora
$lim_(t->0^+)1/(1+tlnt)=f(0)=1$
dunque la funzione è continua nell'intervallo $[0,+infty)$
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