Esercizio derivate seconde con cambio di variabili

[Elna1]

Ciao a tutti! Ho un problema con questo esercizio sul cambio di variabili.

Sono date $ f in C^2(RR^2;RR) , f=f(x,y) $
e il cambio di variabili $ (u,v)=\phi(x,y) $ definito da
$ \{(u=x+y) , (v=3x+y) :}$

Ho poi la funzione $ g(u,v) = f(\phi^-1(u,v)) $ per ogni $ (u,v) in RR^2 $.

Devo calcolare il gradiente di $ f $ e le derivate seconde di $ f $ in funzione del gradiente e delle derivate seconde di $ g $.

Per il calcolo delle derivate prime ho trovato l'espressione di $ \phi^-1 $ :
$ \{(x=1/2 v - 1/2 u), (y=3/2 u -1/2 v):}$
poi ho usato le formule
$\{(g_u = (delf)/(delx) * (delx)/(delu) + (delf)/(dely) * (dely)/(delu)),
(g_v= (delf)/(delx) * (delx)/(delv) + (delf)/(dely) * (dely)/(delv) ):} $

da cui ho trovato prima $ g_u $ e $ g_v $ e quindi
$ f_x = -g_u +3g_v $
$ f_y = g_u + g_v $

Ora il problema mi arriva per il calcolo delle derivate seconde...so come calcolarle normalmente ma non so come fare con il cambio di variabili... qualcuno può aiutarmi gentilmente?

[anonymous_0b37e9]

"Elna":
Per il calcolo delle derivate prime ho trovato l'espressione di $\phi^-1$ ...

Se il calcolo di $\phi^(-1)$ non è così agevole, meglio procedere senza l'inversione di $\phi$:

viewtopic.php?f=36&t=184735#p8331676

"Elna":
Ora il problema mi arriva per il calcolo delle derivate seconde ...

Poiché le derivate parziali seconde di $f$ sono le derivate parziali prime di $(delf)/(delx)$ e di $(delf)/(dely)$, è necessario iterare lo stesso procedimento su $(delf)/(delx)$ e $(delf)/(dely)$.

[Elna1]

Grazie, ho capito il resto, ma non riesco a trovare le derivate seconde... Per calcolare $ f_(x x)$ devo derivare rispetto a $ x $ $f_x $, ma non capisco come impostare il calcolo...

[anonymous_0b37e9]

"Elna":
... e quindi $[f_x=-g_u+3g_v] ^^ [f_y=g_u+g_v]$ ...

Premesso che devi aver sbagliato un segno, ricapitolando:

$\{(u=x+y),(v=3x+y):} ^^ [(delf)/(delx)=(delg)/(delu)(delu)/(delx)+(delg)/(delv)(delv)/(delx)] ^^ [(delf)/(dely)=(delg)/(delu)(delu)/(dely)+(delg)/(delv)(delv)/(dely)] rarr$

$rarr [(delf)/(delx)=(delg)/(delu)+3(delg)/(delv)] ^^ [(delf)/(dely)=(delg)/(delu)+(delg)/(delv)]$

Può convenire procedere mediante la seguente identità operatoriale:

$[(del)/(delx)=(del)/(delu)+3(del)/(delv)] ^^ [(del)/(dely)=(del)/(delu)+(del)/(delv)]$

Quindi, per esempio:

$[(delf)/(delx)=(delg)/(delu)+3(delg)/(delv)] ^^ [(del^2f)/(delx^2)=(del)/(delx)(delf)/(delx)] rarr$

$rarr (del^2f)/(delx^2)=[(del)/(delu)+3(del)/(delv)][(delg)/(delu)+3(delg)/(delv)]=(del^2g)/(delu^2)+6(del^2g)/(deludelv)+9(del^2g)/(delv^2)$

[Elna1]

Grazie tantissime tutto chiaro