Esercizio derivate parziali
Buongiorno a tutti,
volevo chiedervi delle precisazioni su un esercizio in cui mi si chiede, data la funzione:
\[ f(x,y)= \begin{cases}
1+x^2y/(x^2+y^2), &\text{if}\ (x,y)\neq(0,0),\\
1, &\text{if}\ (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
di calcolare, dopo aver verificato che è continua, le derivate parziali nel punto $(0,0)$, servendosi dei giusti rapporti incrementali.
Ho verificato che è continua passando la funzione per $(x,y)!=(0,0)$ in coordinate polari e facendo il limite per $\rho->0$, perchè facendo tendere il raggio a 0 facciamo tendere la funzione all'origine giusto? Questo limite viene 0, ma perchè quindi è continua? Non doveva venire 1?
Poi, considerando la funzione come continua (anche se avevo dubbi sul punto precedente sono andata avanti per chiedervi, eventualmente, tutto insieme come sto facendo
) , per le derivate parziali in $(0,0)$ ho pensato che dato che la funzione è continua, allora di sicuro $f(x,0)=f(0,y)=1$ , e quindi $(f(h,0)-f(0,0))/h = 0$ e $(f(0,h)-f(0,0))/h = 0$.
Però, se vado a fare tutti i calcoli, mi viene così:
$lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h = lim_(h->0)(h^2y/(h^2+y^2) 1/h) = 0$ e ok, e poi
$lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h = lim_(h->0)(x^2h/(x^2+h^2) 1/h) = 1$
perchè viene 1, non dovrebbe venire 0? Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo
Valentina
volevo chiedervi delle precisazioni su un esercizio in cui mi si chiede, data la funzione:
\[ f(x,y)= \begin{cases}
1+x^2y/(x^2+y^2), &\text{if}\ (x,y)\neq(0,0),\\
1, &\text{if}\ (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
di calcolare, dopo aver verificato che è continua, le derivate parziali nel punto $(0,0)$, servendosi dei giusti rapporti incrementali.
Ho verificato che è continua passando la funzione per $(x,y)!=(0,0)$ in coordinate polari e facendo il limite per $\rho->0$, perchè facendo tendere il raggio a 0 facciamo tendere la funzione all'origine giusto? Questo limite viene 0, ma perchè quindi è continua? Non doveva venire 1?
Poi, considerando la funzione come continua (anche se avevo dubbi sul punto precedente sono andata avanti per chiedervi, eventualmente, tutto insieme come sto facendo
) , per le derivate parziali in $(0,0)$ ho pensato che dato che la funzione è continua, allora di sicuro $f(x,0)=f(0,y)=1$ , e quindi $(f(h,0)-f(0,0))/h = 0$ e $(f(0,h)-f(0,0))/h = 0$.Però, se vado a fare tutti i calcoli, mi viene così:
$lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h = lim_(h->0)(h^2y/(h^2+y^2) 1/h) = 0$ e ok, e poi
$lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h = lim_(h->0)(x^2h/(x^2+h^2) 1/h) = 1$
perchè viene 1, non dovrebbe venire 0? Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
[xdom="Rigel"]Ho modificato la parte che non si vedeva. Controlla che sia corretta.[/xdom]
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\left(1+\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right)=\lim_{\rho \to 0}\left(1+\frac{\rho^{3}\sin \theta \cos^{2}\theta}{\rho^{2}}\right)=1
\]
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\left(1+\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right)=\lim_{\rho \to 0}\left(1+\frac{\rho^{3}\sin \theta \cos^{2}\theta}{\rho^{2}}\right)=1
\]
@Rigel Grazie mille, non sapevo come fare
@maxsiviero ok per la continuità fare così è la cosa migliore, lo farò così; ma facendo nel modo che avevo fatto io (che in effetti non ho spiegato bene) avevo sfruttato la definizione di continuità, così:
$|1+(\rho^3 sin\theta cos^2\theta)/\rho^2 -1| $ che tende a 0 per $\rho->0$ . Che vuol dire?
E per il resto?
@maxsiviero ok per la continuità fare così è la cosa migliore, lo farò così; ma facendo nel modo che avevo fatto io (che in effetti non ho spiegato bene) avevo sfruttato la definizione di continuità, così:
$|1+(\rho^3 sin\theta cos^2\theta)/\rho^2 -1| $ che tende a 0 per $\rho->0$ . Che vuol dire?
E per il resto?
"valentina92":
$|1+(\rho^3 sin\theta cos^2\theta)/\rho^2 -1| $ che tende a 0 per $\rho->0$ . Che vuol dire?
E per il resto?
E' la stessa cosa che ho fatto io. La differenza è che io ho calcolato il limite ed ho visto che fa $1$ e che quindi la funzione è continua in $(0,0)$ e tu invece hai ipotizzato che la funzione fosse continua (cioè che il mio limite facesse $1$) e poi lo hai verificato.
Per il resto adesso provo a pensarci.
Ma è verificato perchè se fa 0 allora si può maggiorare con qualsiasi $\epsilon>0$ giusto?
Intanto comunque grazie mille!
Intanto comunque grazie mille!
Hai sbagliato a calcolare la derivata parziale rispetto ad \(y\). Vedi bene: lungo l'asse delle \(y\), la funzione è identicamente pari ad \(1\) perché \(x=0\).
ma non dovrebbe venire uguale alla derivata rispetto a x?
E infatti vengono nulle tutte e due.
...ma se considero x=0 e poi sostituisco $h->0$ non viene una %0/0$? (scusa ma mi sto confondendo...
)
)
E no, valentina. Se \(x=0\), hai che \(f(0, y)\) è identicamente uguale ad \(1\), indipendentemente da \(h\) e da qualsiasi altra cosa. Ora la derivata in \((0, 0)\) fatta rispetto a \(y\) è proprio la derivata di quest'ultima funzione, e quindi è \(0\). Se proprio vuoi scrivere il rapporto incrementale, osserva che esso è identicamente nullo:
\[\frac{f(0, y+h)-f(0, 0)}{h}=\frac{1-1}{h}=0, \quad \forall h.\]
E quindi pure il suo limite è zero; ma non abbiamo fatto altro che ridimostrare che la derivata di una costante è nulla.
\[\frac{f(0, y+h)-f(0, 0)}{h}=\frac{1-1}{h}=0, \quad \forall h.\]
E quindi pure il suo limite è zero; ma non abbiamo fatto altro che ridimostrare che la derivata di una costante è nulla.
Ok. Ok adesso penso di esserci. Grazie mille, soprattutto per la pazienza, sono un po' nervosa e in questi casi mi confondo, avrei avuto l'esame domani ma l'università è chiusa per la neve, non si sa niente, bah.. mi scuso e grazie ancora!
Scusate se sono noiosa, un'ultima cosa riguardo alla prima domanda che avevo fatto, sulla continuità:
cosa devo fare quando mi trovo di fronte a un caso in cui facendo in questo modo mi viene un certo limite, e invece facendo separati il limite lungo l'asse x e lungo l'asse y mi vengono diversi? Significherebbe che il limite non esiste, ma allora perchè nel primo modo mi viene un limite finito?
"maxsiviero":
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\left(1+\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right)=\lim_{\rho \to 0}\left(1+\frac{\rho^{3}\sin \theta \cos^{2}\theta}{\rho^{2}}\right)=1
\]
cosa devo fare quando mi trovo di fronte a un caso in cui facendo in questo modo mi viene un certo limite, e invece facendo separati il limite lungo l'asse x e lungo l'asse y mi vengono diversi? Significherebbe che il limite non esiste, ma allora perchè nel primo modo mi viene un limite finito?
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