Esercizio derivate (max e min)
Scusate ragazzi, è da un'oretta che tento la risoluzione di un problema sulle applicazioni delle derivate per il calcolo di max e min.
L'esercizio dice:
Dimostrare che un triangolo di lati $a$, $b$ e $c$ del quale è conosciuta la base $b$ e il perimetro $P$ ha area massima se è isoscele.
Io ho fatto così:
1. Si nota subito che ciò che si deve derivare è la funzione dell'aria del triangolo $A(h)=(bh)/2$. Adesso l'idea era di trovare la variabile $h$ in funzione dei lati.
2. Poiché l'altezza divide la base in due parti posso chiamare una parte $x$ e l'altra $b-x$. Da qui si può, col Teorema di Pitagora, dire che $\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}=P-b$, in quanto $P-b=a+c$. Difatti $\sqrt{x^2+h^2}=a$ e $\sqrt{(b-x)^2+h^2}=c$, o viceversa.
3. Adesso da $\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}=P-b$ volevo esplicitare $h$, soltanto che non riesco a trovare adeguati metodi algebrici. Una volta trovato $h$ dovrei inserire l'espressione nella formula e derivarla. Dopodiché dovrei porre $A'(x)=0$ e scoprire che il valore massimo si ha con $a=c$... penso...
4. Capisco che anche qualora voi voleste aiutarmi non tutti ne hanno il tempo, quindi anche se mi diceste solo se il criterio che ho usato è corretto andrebbe più che bene. Altri suggerimenti o metodi sono graditissimi. Vi ringrazio in anticipo.
L'esercizio dice:
Dimostrare che un triangolo di lati $a$, $b$ e $c$ del quale è conosciuta la base $b$ e il perimetro $P$ ha area massima se è isoscele.
Io ho fatto così:
1. Si nota subito che ciò che si deve derivare è la funzione dell'aria del triangolo $A(h)=(bh)/2$. Adesso l'idea era di trovare la variabile $h$ in funzione dei lati.
2. Poiché l'altezza divide la base in due parti posso chiamare una parte $x$ e l'altra $b-x$. Da qui si può, col Teorema di Pitagora, dire che $\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}=P-b$, in quanto $P-b=a+c$. Difatti $\sqrt{x^2+h^2}=a$ e $\sqrt{(b-x)^2+h^2}=c$, o viceversa.
3. Adesso da $\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}=P-b$ volevo esplicitare $h$, soltanto che non riesco a trovare adeguati metodi algebrici. Una volta trovato $h$ dovrei inserire l'espressione nella formula e derivarla. Dopodiché dovrei porre $A'(x)=0$ e scoprire che il valore massimo si ha con $a=c$... penso...
4. Capisco che anche qualora voi voleste aiutarmi non tutti ne hanno il tempo, quindi anche se mi diceste solo se il criterio che ho usato è corretto andrebbe più che bene. Altri suggerimenti o metodi sono graditissimi. Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Oddio che errore. Che vergogna. 
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