Esercizio derivate funzioni composte e funzione implicita

[rrr93]

Non riesco a risolvere questo esercizio a mio parere strano. Scrivo il testo, spero potete aiutarmi grazie!
-Supponendo che le funziono coinvolte siano differenziabili quanto basta, si calcoli la derivata prima e seconda della seguente funzione : (penso voglia formule generali)
$ g(x)=f(x,y(x)) $
$ g'(x)= $
$ g''(x)= $
Si esprima la funzione implicita locale h(x) (fissando chiaramente il suo dominio) nascosta nella curva di livello $x^2+x*y^2=1$
in modo che risulti $f(x,h(x))=1.
Grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno!

[billyballo2123]

\[
g'(x)=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y(x)\big) & \frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y(x)\big)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
y'(x)
\end{bmatrix}
=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y(x)\big)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y(x)\big)y'(x);
\]
\[
g''(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(x,y(x)\big)+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(x,y(x)\big)y'(x)+\bigg[\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(x,y(x)\big)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(x,y(x)\big)y'(x)\bigg]y'(x)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y(x)\big) y''(x) \\
=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(x,y(x)\big)+2\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(x,y(x)\big)y'(x)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(x,y(x)\big)y'(x)^2+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y(x)\big) y''(x)
\]
Per quanto riguarda la seconda parte, presumo che $f(x,y)=x^2+xy^2$. Ad ogni modo $h(x)=\pm\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$ con $x\in (-\infty,-1]\cup (0,1]$.

[rrr93]

Grazie mille!!! C'è un motivo sul perchè di questa formula, o è semplicemente una formula? Mi riferisco alla derivata seconda.

[billyballo2123]

Ho applicato lo stesso identico principio di quando ho calcolato la derivata prima. L'ho applicato prima alla funzione
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y(x)\big)
\]
e poi alla funzione
\[
\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y(x)\big)
\]
(che veniva però poi moltiplicata per $y'(x)$).

[rrr93]

Perdonami... Qual'è questo principio?

[billyballo2123]

Quello della derivata composta: se $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$, $h(x)=(h_1(x),h_2(x))$, e $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, ponendo $g=f\circ h$ (cioè $g(x)=f(h(x))=f(h_1(x),h_2(x))$) si ha che
\[
g'(x)=\nabla f\big(h_1(x),h_2(x)\big)\cdot
\begin{bmatrix}
h_1'(x) \\
h_2'(x)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x}\big(h_1(x),h_2(x)\big) & \frac{\partial f}{\partial y}\big(h_1(x),h_2(x)\big)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
h_1'(x) \\
h_2'(x)
\end{bmatrix} \\
=\frac{\partial f}{\partial x}\big(h_1(x),h_2(x)\big)h_1'(x)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(h_1(x),h_2(x)\big)h_2'(x).
\]
Nel tuo caso $h_1(x)=x$ e $h_2(x)=y(x)$ (dunque $h(x)=(x,y(x))$, $h_1'(x)=1$ e $h_2'(x)=y'(x)$).