Esercizio derivate

[Lale1]

Sia f:[0,5] -> R derivabile due volte e tale che f(x)= pi greco per x=1,2,3.
Dimostrare che esiste almeno un punto x con zero appartenente a ]1,3[ tale che la derivata seconda di f si annulla in quel punto.

Io ho scritto delle considerazioni basate più che altro sul teorema di Rolle e quello degli zeri, ma vorrei vedere magari soluzioni più complete della mia..buone feste e grazie delle eventuali risposte..

[dissonance]

Un momento un po' insolito per mettersi a fare esercizi sulle derivate... Comunque, una soluzione a cui ho pensato si basa sulla convessità. L'idea è che, se la derivata seconda $f''$ non ha zeri, dalla proprietà del valore intermedio segue che $f''$ mantiene segno costante. Supponiamo allora, per assurdo, che $f''$ sia positiva in tutto l'intervallo. Questo significa che la nostra funzione deve essere strettamente convessa: ma il vincolo $f(1)=f(2)=f(3)$ fa a pugni con questa costruzione. [edit: c'era un errore.]
Infatti $f$ assume il valore $pi$ per $x=1$ e $x=3$; quindi per ogni $x\in(1, 3)$ deve essere $f(x)

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