Esercizio derivate
Buongiorno a tutti,
Di seguito svolgo un esercizio sul calcolo delle derivate di una funzione. Il mio svolgimento deve avere qualche errore perche', provando a fare il confronto tra il grafico (con Matlab) della derivata calcolata "manualmente" (${\Delta F}/{\Delta x}$ per $\Delta x$ piccolo) e la mia espressione, i grafici non coincidono.
Questa e' la funzione
$F(x) = N(-f(x)) + (H/x)^{2\lambda} N(g(x)) $
con
$f(x) = \frac{\ln(x) +a}{c}$, $g(x) = \frac{-ln(x)+b}{c}$ e $N(t) = \int_{-\infty}^t\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}} dt$ (funzione di densita' cumulata di una normale standard - ma questo e' abbastanza irrilevante).
La derivata di $F$ dovrebbe essere
$F'(x) = N'(-f(x)) (-1) f'(x) + H^{2\lambda} (-2\lambda x^{-2\lambda-1} N(g(x)) +x^{-2\lambda} N'(g(x)) g'(x)) )$
Poiche' $N'$ e' pari,
\begin{split} F'(x) &= -N'(f(x)) \frac{1}{xc} + H^{2\lambda} \left(-2\lambda x^{-2\lambda-1} N(g(x)) +x^{-2\lambda} N'(g(x)) \left(-\frac{1}{xc}\right) \right)\\
&=-\frac{1}{xc}\left(N'(f(x)) + \left(\frac{H}{x}\right)^{2\lambda} \left(2\lambda c N(g(x)) +N'(g(x))\right)\right)\end{split}
Riuscite a trovare il mio errore?
Grazie in anticipo
Di seguito svolgo un esercizio sul calcolo delle derivate di una funzione. Il mio svolgimento deve avere qualche errore perche', provando a fare il confronto tra il grafico (con Matlab) della derivata calcolata "manualmente" (${\Delta F}/{\Delta x}$ per $\Delta x$ piccolo) e la mia espressione, i grafici non coincidono.
Questa e' la funzione
$F(x) = N(-f(x)) + (H/x)^{2\lambda} N(g(x)) $
con
$f(x) = \frac{\ln(x) +a}{c}$, $g(x) = \frac{-ln(x)+b}{c}$ e $N(t) = \int_{-\infty}^t\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}} dt$ (funzione di densita' cumulata di una normale standard - ma questo e' abbastanza irrilevante).
La derivata di $F$ dovrebbe essere
$F'(x) = N'(-f(x)) (-1) f'(x) + H^{2\lambda} (-2\lambda x^{-2\lambda-1} N(g(x)) +x^{-2\lambda} N'(g(x)) g'(x)) )$
Poiche' $N'$ e' pari,
\begin{split} F'(x) &= -N'(f(x)) \frac{1}{xc} + H^{2\lambda} \left(-2\lambda x^{-2\lambda-1} N(g(x)) +x^{-2\lambda} N'(g(x)) \left(-\frac{1}{xc}\right) \right)\\
&=-\frac{1}{xc}\left(N'(f(x)) + \left(\frac{H}{x}\right)^{2\lambda} \left(2\lambda c N(g(x)) +N'(g(x))\right)\right)\end{split}
Riuscite a trovare il mio errore?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao
A me pare che non sia pari
Immagino tu volessi scrivere $N(x)=int_(-oo)^x e^(-t^2/2)/sqrt(2pi)dt$
Semplifichiamo il problema:
$N[g(x)]=int_(-oo)^(g(x)) e^(-t^2)dt$
$(d{N[g(x)]})/(dx)=N'[g(x)]*g'(x)$
$g(x)=ln(x)$ per cui la funzione è definita su $(0,oo)$
$N[g(x)]$ dove sarà definita?
Può $N'[g(x)]$ essere pari?
A me pare che non sia pari
"fede.unive":
$N(t) = \int_\infty^t\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}} dt$ (funzione di densita' cumulata di una normale standard - ma questo e' abbastanza irrilevante).
Immagino tu volessi scrivere $N(x)=int_(-oo)^x e^(-t^2/2)/sqrt(2pi)dt$
"fede.unive":
Poiche' $N'$ e' pari
Semplifichiamo il problema:
$N[g(x)]=int_(-oo)^(g(x)) e^(-t^2)dt$
$(d{N[g(x)]})/(dx)=N'[g(x)]*g'(x)$
$g(x)=ln(x)$ per cui la funzione è definita su $(0,oo)$
$N[g(x)]$ dove sarà definita?
Può $N'[g(x)]$ essere pari?
"Bokonon":
Ciao
A me pare che non sia pari
[quote="fede.unive"]$ N(t) = \int_\infty^t\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}} dt $ (funzione di densita' cumulata di una normale standard - ma questo e' abbastanza irrilevante).
Immagino tu volessi scrivere $ N(x)=int_(-oo)^x e^(-t^2/2)/sqrt(2pi)dt $
"fede.unive":
Poiche' $ N' $ e' pari
Semplifichiamo il problema:
$ N[g(x)]=int_(-oo)^(g(x)) e^(-t^2)dt $
$ (d{N[g(x)]})/(dx)=N'[g(x)]*g'(x) $
$ g(x)=ln(x) $ per cui la funzione è definita su $ (0,oo) $
$ N[g(x)] $ dove sarà definita?
Può $ N'[g(x)] $ essere pari?[/quote]
Scusa ma $N'(x) = exp(-x^2/2)/\sqrt{2\pi}$ mi pare sia pari. Dunque anche applicandolo a $N'(-f(x)) = N'(f(x))$, no?
Non ci hai riflettuto granchè, eh?
Non importa se vuoi usare una funzione integrale di una gaussiana (perchè ci sei costretto) o definirne una qualsiasi del tipo $F(k)=int_a^k f(t)dt$.
Nel momento in cui $k=ln(x)$, allora il dominio della generica funzione $F[ln(x)]$ (nel caso più roseo) è definito su $(0,oo)$ (non ci sono santi).
Se tu avessi riflettuto sul mio post precedente, saresti giunto alla conclusione che anche la derivata funzionale $F'(k)$ è una funzione definita su $(0,oo)$ e che quindi $a>0$.
Non puoi pretendere che $a=-oo$ e trattare quella derivata come se fosse una gaussiana
Non importa se vuoi usare una funzione integrale di una gaussiana (perchè ci sei costretto) o definirne una qualsiasi del tipo $F(k)=int_a^k f(t)dt$.
Nel momento in cui $k=ln(x)$, allora il dominio della generica funzione $F[ln(x)]$ (nel caso più roseo) è definito su $(0,oo)$ (non ci sono santi).
Se tu avessi riflettuto sul mio post precedente, saresti giunto alla conclusione che anche la derivata funzionale $F'(k)$ è una funzione definita su $(0,oo)$ e che quindi $a>0$.
Non puoi pretendere che $a=-oo$ e trattare quella derivata come se fosse una gaussiana
"Bokonon":
Non ci hai riflettuto granchè, eh?
Non importa se vuoi usare una funzione integrale di una gaussiana (perchè ci sei costretto) o definirne una qualsiasi del tipo $F(k)=int_a^k f(t)dt$.
Nel momento in cui $k=ln(x)$, allora il dominio della generica funzione $F[ln(x)]$ (nel caso più roseo) è definito su $(0,oo)$ (non ci sono santi).
Se tu avessi riflettuto sul mio post precedente, saresti giunto alla conclusione che anche la derivata funzionale $F'(k)$ è una funzione definita su $(0,oo)$ e che quindi $a>0$.
Non puoi pretendere che $a=-oo$ e trattare quella derivata come se fosse una gaussiana
Io ci ho riflettuto ma non vedo onestamente dove stia l'inghippo nel mio calcolo della derivata per quanto riguarda la parita'.
Prima di tutto io uso la parita' per $N'(-f(x))$ dove $f(x) = \frac{\ln x + a}{c}$. $x$ e' positivo per definizione del problema (scusa ho dimenticato di scriverlo). Quindi, fissiamo $x = 1$, e $f(1) = a/c$. Quindi $-f(1) = - a/c$ (NON $f(-1)$: Non ho detto che $f$ e' pari ma che $N'$ e' pari). Segue
$N'(f(1))=N'(a/c) = \frac{exp(-(a/c)^2/2)}{\sqrt{2\pi}} =\frac{exp(-(-a/c)^2/2)}{\sqrt{2\pi}} = N'(-a/c) = N'(-f(1)) $
in quanto $N'$ e' pari (fino a prova contraria mi pare che le campane, centrate in zero, siano simmetriche rispetto all'asse delle ordinate).
"Bokonon":
Non ci hai riflettuto granchè, eh?
Non importa se vuoi usare una funzione integrale di una gaussiana (perchè ci sei costretto) o definirne una qualsiasi del tipo $F(k)=int_a^k f(t)dt$.
Nel momento in cui $k=ln(x)$, allora il dominio della generica funzione $F[ln(x)]$ (nel caso più roseo) è definito su $(0,oo)$ (non ci sono santi).
Se tu avessi riflettuto sul mio post precedente, saresti giunto alla conclusione che anche la derivata funzionale $F'(k)$ è una funzione definita su $(0,oo)$ e che quindi $a>0$.
Non puoi pretendere che $a=-oo$ e trattare quella derivata come se fosse una gaussiana
Quindi stai dicendo che per $N(-\ln(x))$ in realta' dovrei scriver
\[ N(-\ln(x)) = \int_0^{-\ln(x)} \frac{\exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}} d t\]
?
Sto continuando a pensare a quello che hai scritto ma qualcosa non mi torna. Il fatto che l'estremo di integrazione possa essere $\ln(x)$ (quindi $x>0$), non significa che l'integrale debba partire da zero. $ln: \mathbb{R}^+ -> \mathbb{R}$ pertanto non vedo dove sia il problema ad avere $-oo$ come estremo. Sto integrando una variable (muta) $t$ su un insieme che puo', al piu', essere grande come $\mathbb{R}$.
Ci ho pensato su anch'io e hai ragione tu.
Ma il problema rimane. La derivata da qualche parte e' sbagliata. Sigh...
Datemi un po'di tempo e vedo che si può fare.
@ fede.unive: Ad ogni modo, ancora non mi è chiaro perché pensi ci sia qualcosa che non va.
Non potrebbe essere il software a sbagliare?
@ fede.unive: Ad ogni modo, ancora non mi è chiaro perché pensi ci sia qualcosa che non va.
Non potrebbe essere il software a sbagliare?
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