Esercizio derivata funzione inversa
Buongiorno a tutti,
due giorni fa ho sostenuto l'esame scritto di analisi 1 e ho riscontrato un problema con un esercizio che mi è parso banale e che pensavo di aver fatto bene, ma che invece, uscite le soluzioni su internet, mi sono accorta di aver sbagliato parzialmente.
L'esercizio dice:
"Sia:
$f(x) = ln(x+3)-arctg(x),$ $x in [-1,2] $
a) Determinare minimo e massimo di f in $[-1,2]$ e l'insieme immagine $f([-1,2])$.
b) Verificare che f è invertibile in $[-1,2].$
c) Verificare che la funzione inversa $f^(-1)(y)$ è derivabile nel punto $y_0 = ln3$ e calcolare quanto vale la derivata di $f^(-1)(y)$ nel punto $y_0 = ln3$. "
Dunque, tralascio i primi punti perchè sono banali, li ho scritti solo per farvi vedere l'esercizio tutto intero per maggior chiarezza;
per quanto riguarda il terzo, dopo aver verificato la derivabilità della funzione inversa nel punto assegnato, lì per lì non mi è venuto in mente di sostituire la x del punto alla derivata della funzione diretta e poi farne il reciproco, ma invece, ho sostituito $ln3$ alla derivata dell'inversa, che sarebbe $f^(-1)(y) = ((y+3)(y^2+1))/(y^2-y-2)$. Pensavo che i due metodi fossero equivalenti, ma invece non lo sono, e non ho capito perchè.
Grazie come sempre in anticipo
Valentina
due giorni fa ho sostenuto l'esame scritto di analisi 1 e ho riscontrato un problema con un esercizio che mi è parso banale e che pensavo di aver fatto bene, ma che invece, uscite le soluzioni su internet, mi sono accorta di aver sbagliato parzialmente.
L'esercizio dice:
"Sia:
$f(x) = ln(x+3)-arctg(x),$ $x in [-1,2] $
a) Determinare minimo e massimo di f in $[-1,2]$ e l'insieme immagine $f([-1,2])$.
b) Verificare che f è invertibile in $[-1,2].$
c) Verificare che la funzione inversa $f^(-1)(y)$ è derivabile nel punto $y_0 = ln3$ e calcolare quanto vale la derivata di $f^(-1)(y)$ nel punto $y_0 = ln3$. "
Dunque, tralascio i primi punti perchè sono banali, li ho scritti solo per farvi vedere l'esercizio tutto intero per maggior chiarezza;
per quanto riguarda il terzo, dopo aver verificato la derivabilità della funzione inversa nel punto assegnato, lì per lì non mi è venuto in mente di sostituire la x del punto alla derivata della funzione diretta e poi farne il reciproco, ma invece, ho sostituito $ln3$ alla derivata dell'inversa, che sarebbe $f^(-1)(y) = ((y+3)(y^2+1))/(y^2-y-2)$. Pensavo che i due metodi fossero equivalenti, ma invece non lo sono, e non ho capito perchè.
Grazie come sempre in anticipo
Valentina
Risposte
Ciao!
Mi sembra che tu abbia fatto confusione nell'invertire le variabili:
siamo intanto d'accordo che,
generalizzando il teorema di derivazione delle funzioni inverse come tu hai fatto e ponendo $g=f^(-1)$,
si ha $g'[f(x)]=1/(f'(x))$ $AAx$$indomf'$$t.c. f'(x)ne0$?
Tu potrai allora scrivere che $g'[f(x)]=1/(1/(x+3)-1/(1+x^2))$$AAx$$indomf'$$t.c. f'(x)ne0$;
per calcolare quella derivata prima in $y_0=ln3$,
dovrai dunque trovare la controimmagine $x_0$ di tale valore secondo la f e poi sostituirla nel secondo membro che mi sembra hai ben calcolato(ma lo hai fatto in y..):
se sono ancora capace di far due conti,
verrà fuori che $g'(ln3)=g'[f(cdots)]=1/(1/(cdots+3)-1/(1+cdots^2))=cdots=-3/2$.
Saluti dal web.
Mi sembra che tu abbia fatto confusione nell'invertire le variabili:
siamo intanto d'accordo che,
generalizzando il teorema di derivazione delle funzioni inverse come tu hai fatto e ponendo $g=f^(-1)$,
si ha $g'[f(x)]=1/(f'(x))$ $AAx$$indomf'$$t.c. f'(x)ne0$?
Tu potrai allora scrivere che $g'[f(x)]=1/(1/(x+3)-1/(1+x^2))$$AAx$$indomf'$$t.c. f'(x)ne0$;
per calcolare quella derivata prima in $y_0=ln3$,
dovrai dunque trovare la controimmagine $x_0$ di tale valore secondo la f e poi sostituirla nel secondo membro che mi sembra hai ben calcolato(ma lo hai fatto in y..):
se sono ancora capace di far due conti,
verrà fuori che $g'(ln3)=g'[f(cdots)]=1/(1/(cdots+3)-1/(1+cdots^2))=cdots=-3/2$.
Saluti dal web.
Ho capito! Grazie!!
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