Esercizio derivata direzionale

[masta8]

Buonasera, non riesco a risolvere quest'esercizio.
dovrei calcolare la derivata direzionale della seguente funzione
f(x,y)= $(x^2 - 3y^2) / (2x+y)$ nel punto xo= (0,1) nella direzione del versore v=($1/sqrt(2)$, $1/sqrt(2)$)
utilizzando la definizione di derivata direzionale.
purtroppo sono nuovo e non sono molto abile con i comandi del forum.
vi ringrazio anticipatamente, spero che possiate aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao Masta,

Benvenuto sul forum!

Dato che la funzione proposta è $ f(x,y) = (x^2 - 3y^2)/(2x+y) $, la cosa più comoda è usare la relazione

$(\del f)/(\del \mathbf v) (x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf v $

con $P_0(x_0, y_0) $, $x_0 = 0 $ e $y_0 = 1 $
Si ha:

$ (\del f)/(\del x) = (2 (x^2 + x y + 3 y^2))/(2 x + y)^2 \implies ((\del f)/(\del x))_{P_0} = 6 $

$ (\del f)/(\del y) = -(x^2 + 12 x y + 3 y^2)/(2 x + y)^2 \implies ((\del f)/(\del y))_{P_0} = -3 $

Dunque si ha:

$(\del f)/(\del \mathbf v) (0, 1) = \nabla f(0, 1) \cdot \mathbf v = (((\del f)/(\del x))_{P_0}, ((\del f)/(\del y))_{P_0}) \cdot (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = $
$ = (6, - 3) \cdot (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = (3\sqrt2)/2$

Con la definizione di derivata direzionale si ottiene lo stesso risultato, ma è meno breve:

$(\del f)/(\del \mathbf v) (x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hv_1, y_0 + hv_2) - f(x_0, y_0)}{h} $

Nel caso in esame si ha:

$(\del f)/(\del \mathbf v) (0, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h/(\sqrt2), 1 + h/(\sqrt2)) - f(0, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2/2 - 3(1 + h/(\sqrt2))^2)/(2h/(\sqrt2)+1 + h/(\sqrt2)) + 3}{h} = $
$ = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2/2 - 3(1 + 2h/(\sqrt2) + h^2/2))/(\sqrt2 h + 1 + (\sqrt2)/2 h) + 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2/2 - 3(1 + \sqrt2 h + h^2/2))/((3\sqrt2)/2 h + 1) + 3}{h} = $
$ = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2/2 - 3 - 3\sqrt2 h - (3h^2)/2)/((3sqrt2)/2 h + 1) + 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(- h^2 - 3\sqrt2 h - 3)/((3\sqrt2)/2 h + 1) + 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{- h^2 - 3\sqrt2 h + (9\sqrt2)/2 h}{h((3sqrt2)/2 h + 1)} = $
$ = \lim_{h \to 0} \frac{- h + (3\sqrt2)/2}{(3sqrt2)/2 h + 1} = (3\sqrt2)/2$