Esercizio Derivata.
Salve, desideravo un aiuto riguardo il metodo risolutivo di un esercizio come questo;
"Calcolare la derivata della seguente funzione in ogni punto del rispettivo campo di esistenza"
$f(x)= cos(x^2+2x) ;$
ovviamente il dominio è Tutto $RR$
non so come impostare il rapporto incrementale....
innanzitutto, essendoci una somma dovrebbe essere $(cosx^2 2cosx-senx^2 2senx)$ NO ?..
...grazie dell'attenzione.
Cordiali Saluti.
"Calcolare la derivata della seguente funzione in ogni punto del rispettivo campo di esistenza"
$f(x)= cos(x^2+2x) ;$
ovviamente il dominio è Tutto $RR$
non so come impostare il rapporto incrementale....
innanzitutto, essendoci una somma dovrebbe essere $(cosx^2 2cosx-senx^2 2senx)$ NO ?..
...grazie dell'attenzione.
Cordiali Saluti.
Risposte
Mmm... ma devi derivare utilizzando la definizione di rapporto incrementale? Perchè nn apllichi direttamente le formule di derivazione di funzioni composte?
(FoG)' = F'G * G'
(FoG)' = F'G * G'
"pater46":
Mmm... ma devi derivare utilizzando la definizione di rapporto incrementale? Perchè nn apllichi direttamente le formule di derivazione di funzioni composte?
(FoG)' = F'G * G'
con la regola di derivazione delle funzioni composte viene
$-sen2x$
??....
"mat100":
[quote="pater46"]Mmm... ma devi derivare utilizzando la definizione di rapporto incrementale? Perchè nn apllichi direttamente le formule di derivazione di funzioni composte?
(FoG)' = F'G * G'
con la regola di derivazione delle funzioni composte viene
$-sen2x$
??....[/quote]
No.
Prima devi derivare l'argomento del coseno e poi il coseno.
ottieni:
$cos(x^2+2x)= (2x+2) * (-sen(x^2+2x))$
"Mathcrazy":
[quote="mat100"][quote="pater46"]Mmm... ma devi derivare utilizzando la definizione di rapporto incrementale? Perchè nn apllichi direttamente le formule di derivazione di funzioni composte?
(FoG)' = F'G * G'
con la regola di derivazione delle funzioni composte viene
$-sen2x$
??....[/quote]
No.
Prima devi derivare l'argomento del coseno e poi il coseno.
ottieni:
$cos(x^2+2x)= (2x+2) * (-sen(x^2+2x))$[/quote]
chiarissimo, sai sono all'inizio e nei procedimenti pratici anche stupidi mi blocco;
Soprattutto su come impostare la forma di un ipotetica composta $h(x)$. in esercizi come questo in cui non ci sono eventuali ipotesi aggiuntive mi sorge il dubbio se considerare la composta $FoG$ o $GoF$; fermo restando che nella formula di derivazione non cambia niente.
se consideriamo $f(x)= cos$ e $g(x)= (x^2+2x)$ la funzione $h(x)=[f(x)]g(x)$
cioè è lecito formare $GoF$ in quanto prima opera $g$ e poi su $g(x)$ opera $f$; e non la viceversa $FoG$
per quanto riguarda la formula $[g^{\prime}f(x_0)] f^{\prime}(x_0)$. verrebbe: $[ (2x+2) (cosx)] [-senx]$
non so se ho fatto confusione;
però la tua forma è quella più chiara e più giusta.
thanks
"mat100":
chiarissimo, sai sono all'inizio e nei procedimenti pratici anche stupidi mi blocco;
Soprattutto su come impostare la forma di un ipotetica composta $h(x)$. in esercizi come questo in cui non ci sono eventuali ipotesi aggiuntive mi sorge il dubbio se considerare la composta $FoG$ o $GoF$; fermo restando che nella formula di derivazione non cambia niente.
se consideriamo $f(x)= cos$ e $g(x)= (x^2+2x)$ la funzione $h(x)=[f(x)]g(x)$
cioè è lecito formare $GoF$ in quanto prima opera $g$ e poi su $g(x)$ opera $f$; e non la viceversa $FoG$
per quanto riguarda la formula $[g^{\prime}f(x_0)] f^{\prime}(x_0)$. verrebbe: $[ (2x+2) (cosx)] [-senx]$
non so se ho fatto confusione;
però la tua forma è quella più chiara e più giusta.
thanks
Non farti ingannare dall'apparente complessità formale.
E' evidente che $cos(x^2+2x)$ consta di due funzioni:
il coseno e l'argomento $x^2+2x$.
Per praticità, ti consiglio,infatti, di partire a derivare dalla funzione più esterna per andare poi passo passo verso l'interno.
Cioè,più in generale: $D f(g(x_0)) = f'(g(x_0)) * g'(x_0) $
Col tempo ti verranno immediati.
Ad esempio:
$y=log {cos [sen (tg x^2)]}$
Calcolando la derivata ho:
$1/{cos [sen (tg x^2)]}$ x $-sen [sen (tg x^2)]$ x $cos (tg x^2)$ x $1/(1+x^2)$ x $2x$ (x sta per prodotto, per farti capire meglio!!)
Infatti:
$1/{cos [sen (tg x^2)]}$ ------->> derivata di $log$
$-sen [sen (tg x^2)]$ ------->> derivata di $cos$
$cos (tg x^2)$ -------------->>> derivata di $sen$
$1/(1+x^2)$ ------------->>> derivata della $tg$
$2x$ ---------------------->>>> derivata di $x^2$
Chiaro???
Se hai capito ciò, puoi risolvere anche le derivate più mostruose.
Te ne propongo una, per esercizio:
$y= {tg [cos (sen (log (arctan (sqrt (x^2 +5x)))))]}$
carina è? vediamo se la risolvi per bene!!!
ps. se sei sicuro di averla fatta bene, non ti preoccupare di scriverla, perderesti tanto tempo!!!!!
Se ti va però scrivila!
"Mathcrazy":
[quote="mat100"]
chiarissimo, sai sono all'inizio e nei procedimenti pratici anche stupidi mi blocco;
Soprattutto su come impostare la forma di un ipotetica composta $h(x)$. in esercizi come questo in cui non ci sono eventuali ipotesi aggiuntive mi sorge il dubbio se considerare la composta $FoG$ o $GoF$; fermo restando che nella formula di derivazione non cambia niente.
se consideriamo $f(x)= cos$ e $g(x)= (x^2+2x)$ la funzione $h(x)=[f(x)]g(x)$
cioè è lecito formare $GoF$ in quanto prima opera $g$ e poi su $g(x)$ opera $f$; e non la viceversa $FoG$
per quanto riguarda la formula $[g^{\prime}f(x_0)] f^{\prime}(x_0)$. verrebbe: $[ (2x+2) (cosx)] [-senx]$
non so se ho fatto confusione;
però la tua forma è quella più chiara e più giusta.
thanks
Non farti ingannare dall'apparente complessità formale.
E' evidente che $cos(x^2+2x)$ consta di due funzioni:
il coseno e l'argomento $x^2+2x$.
Per praticità, ti consiglio,infatti, di partire a derivare dalla funzione più esterna per andare poi passo passo verso l'interno.
Cioè,più in generale: $D f(g(x_0)) = f'(g(x_0)) * g'(x_0) $
Col tempo ti verranno immediati.
Ad esempio:
$y=log {cos [sen (tg x^2)]}$
Calcolando la derivata ho:
$1/{cos [sen (tg x^2)]}$ x $-sen [sen (tg x^2)]$ x $cos (tg x^2)$ x $1/(1+x^2)$ x $2x$ (x sta per prodotto, per farti capire meglio!!)
Infatti:
$1/{cos [sen (tg x^2)]}$ ------->> derivata di $log$
$-sen [sen (tg x^2)]$ ------->> derivata di $cos$
$cos (tg x^2)$ -------------->>> derivata di $sen$
$1/(1+x^2)$ ------------->>> derivata della $tg$
$2x$ ---------------------->>>> derivata di $x^2$
Chiaro???
Se hai capito ciò, puoi risolvere anche le derivate più mostruose.
Te ne propongo una, per esercizio:
$y= {tg [cos (sen (log (arctan (sqrt (x^2 +5x)))))]}$
carina è? vediamo se la risolvi per bene!!!
ps. se sei sicuro di averla fatta bene, non ti preoccupare di scriverla, perderesti tanto tempo!!!!!
Se ti va però scrivila![/quote]
Grazie mille Math;
visto l'orario ... la faccio domani mattina; ora è tutto più chiaro.
...
ma comunque nella funzione svolta da te in precedenza non sei partito dalla funzione più esterna, ma da quella più interna cioè la derivata di "$log$
.... è stata una scelta fatta di proposito?, o comunque il risultato non è compromesso dall'ordine di scrittura ?
... ci si risente.
L'importante è che stai attento a procedere bene, non importa l'ordine degli addendi, è sempre un prodotto Partire dall'interno può risultare più facile, in ogni modo ricorda:
Derivata della funzione esterna con argomento uguale alla funzione interna $\cdot$ derivata della funzione interna.
$D[ f(g(x)) ] = f'( g(x) ) \cdot g'(x)$ oppure... $D[ f(g(h(x))) ] = h'(x) \cdot g'(h(x)) \cdot f'(g(h(x)))$
Questo praticamente per tutte le funzioni composte, indipendentemente da quante ne hai.
Partire dall'interno può risultare più facile, in ogni modo ricorda:Derivata della funzione esterna con argomento uguale alla funzione interna $\cdot$ derivata della funzione interna.
$D[ f(g(x)) ] = f'( g(x) ) \cdot g'(x)$ oppure... $D[ f(g(h(x))) ] = h'(x) \cdot g'(h(x)) \cdot f'(g(h(x)))$
Questo praticamente per tutte le funzioni composte, indipendentemente da quante ne hai.
"Mathcrazy":
Prima devi derivare l'argomento del coseno e poi il coseno.
ottieni:
$cos(x^2+2x)= (2x+2) * (-sen(x^2+2x))$
continuando quella iniziale... $ (2x+2) [-senx^2-sen2x] = -2senx^3-sen4x^2-sen2x^2-sen4x $
... c'è qualche errore mi sa...
"mat100":
[quote="Mathcrazy"]
Prima devi derivare l'argomento del coseno e poi il coseno.
ottieni:
$cos(x^2+2x)= (2x+2) * (-sen(x^2+2x))$
continuando quella iniziale... $ (2x+2) [-senx^2-sen2x] = -2senx^3-sen4x^2-sen2x^2-sen4x $
... c'è qualche errore mi sa...[/quote]Attenzione mat100, $- sen(x^2+2x)$ non puoi scriverlo come $-senx^2-sen2x$;
$(x^2+2x)$ è l'argomento del seno e non puoi assolutamente moltiplicare il seno per il suo argomento, non ha senso!
$sen(\alpha+\beta)$ non puoi scriverlo come $sen \alpha + sen \beta$.
Ma, al più, esistono delle formule apposite,che probabilmente già conosci, cioè:
$sen(\alpha+\beta) = sen \alpha*cos \beta + sen \beta*cos \alpha$
Fai attenzione a non commettere mai questo errore; vale sia per il seno, ma anche per coseno, tangente, arcotangente, arcocotangente, arcoseno e arcocoseno.
MAI spezzare l'argomento sia che ci siano somme, sia prodotti; per farlo devi usare delle formule di archi associati, complementari ecc..
"Mathcrazy":
[quote="mat100"][quote="Mathcrazy"]
Prima devi derivare l'argomento del coseno e poi il coseno.
ottieni:
$cos(x^2+2x)= (2x+2) * (-sen(x^2+2x))$
continuando quella iniziale... $ (2x+2) [-senx^2-sen2x] = -2senx^3-sen4x^2-sen2x^2-sen4x $
... c'è qualche errore mi sa...[/quote]Attenzione mat100, $- sen(x^2+2x)$ non puoi scriverlo come $-senx^2-sen2x$;
$(x^2+2x)$ è l'argomento del seno e non puoi assolutamente moltiplicare il seno per il suo argomento, non ha senso!
$sen(\alpha+\beta)$ non puoi scriverlo come $sen \alpha + sen \beta$.
Ma, al più, esistono delle formule apposite,che probabilmente già conosci, cioè:
$sen(\alpha+\beta) = sen \alpha*cos \beta + sen \beta*cos \alpha$
Fai attenzione a non commettere mai questo errore; vale sia per il seno, ma anche per coseno, tangente, arcotangente, arcocotangente, arcoseno e arcocoseno.
MAI spezzare l'argomento sia che ci siano somme, sia prodotti; per farlo devi usare delle formule di archi associati, complementari ecc..[/quote]
dHO!
che svista....
si si le conosco
ecco in questo modo con il seno della somma verrebbe $(2x+2) [-senx^2cos2x+cosx^2(-sen2x)]$
sicuramente ora ci sarebbe da fare una semplificazione... ma non vorrei usare le formule di prostaferesi.....
come potrei semplificare?
ps:sto creando un database di esercizi + commenti, in modo tale che più ne faccio più ne prendo praticità!
"mat100":
dHO!
che svista....
si si le conosco
ecco in questo modo con il seno della somma verrebbe $(2x+2) [-senx^2cos2x+cosx^2(-sen2x)]$
sicuramente ora ci sarebbe da fare una semplificazione... ma non vorrei usare le formule di prostaferesi.....
come potrei semplificare?
ps:sto creando un database di esercizi + commenti, in modo tale che più ne faccio più ne prendo praticità!
Non credo si possa semplificare ulteriormente, anche usando formule e formulacce.
Io lo lascerei così.
Sicuramente ti sarà venuto in mente di usare Werner, ma ti faccio subito vedere che usando Werner,non fai altro che ritornare al punto di partenza:
$(2x+2) -[senx^2*cos2x+cosx^2*sen2x]$
Per curiosità te lo dimostro:
Applico Werner:
$senx^2*cos2x = 1/2[sen(x^2+2x) + sen(x^2-2x)]$
$cosx^2*sen2x = sen2x*cosx^2 = 1/2[sen(2x+x^2) + sen(2x-x^2)]$
Sostituiamo:
$(2x+2) - {1/2[sen(x^2+2x) + sen(x^2-2x)] + 1/2[sen(2x+x^2) + sen(2x-x^2)]} =$
$(2x+2) - {1/2[sen(x^2+2x) + sen(x^2-2x) + sen(2x+x^2) + sen(2x-x^2)]} =$
$(2x+2) - {1/2[2*sen(x^2+2x) + sen(x^2-2x) + sen(2x-x^2)]} =$
Ricordiamo ora che $sen(-\alpha) = - sen(\alpha)$, otteniamo:
$(2x+2) - {1/2[2*sen(x^2+2x) + sen(x^2-2x) - sen(x^2-2x)]} =$
$(2x+2) - {1/2[2*sen(x^2+2x)]} =$
$(2x+2) - {[sen(x^2+2x)]} = $
$(2x+2) -[senx^2*cos2x+cosx^2*sen2x]$
Guarda caso, siamo ritornati all' espressione iniziale; quindi,conclusione: quando te ne accorgi, evita di perdere tempo inutile per migliorare l'espressione iniziale, accontentati di ciò che hai ottenuto
Senza usare Werner, avremmo ricavato la stessa espressione osservando che: $sen(\alpha + \beta) = sen(\alpha)*cos(\beta) + sen(\beta)*cos(\alpha)$ quindi:
$senx^2*cos2x+cosx^2*sen2x = sen(x^2+2x)$
Insomma, a parte l'aver verificato che le formule di Werner (e quindi anche quelle di Prostaferesi) funzionano davvero (:P),non abbiamo semplificato proprio nulla.
[quote=Mathcrazy][/quote]
Fantastico Math!
ho capito adesso dopo aver fatto un pò di esercizi, che non bisogna accanirci nella ricerca di una forma sempre più compatta dell'espressione che ci dà la formula;
Per il resto; volevo porre un esercizietto un pò più delicato!
derivare $f(x)= log (x-1)/(x) $ ; il risultato è $1/[x(x-1)]$
la funzione $(x-1)/x $ è da vedere come $(f(x)/g(x))^{\prime}$ ..??? non mi riesco a spiegare il risultato;
la derivata di $(x-1)/(x)$ dovrebbe essere $0$ e quindi moltiplicando ad ${[1]/[(x-1)/(x)]}$ non dovrebbe dare 0 ?
grazie dei chiarimenti
cordiali saluti.
Fantastico Math!
ho capito adesso dopo aver fatto un pò di esercizi, che non bisogna accanirci nella ricerca di una forma sempre più compatta dell'espressione che ci dà la formula;
Per il resto; volevo porre un esercizietto un pò più delicato!
derivare $f(x)= log (x-1)/(x) $ ; il risultato è $1/[x(x-1)]$
la funzione $(x-1)/x $ è da vedere come $(f(x)/g(x))^{\prime}$ ..??? non mi riesco a spiegare il risultato;
la derivata di $(x-1)/(x)$ dovrebbe essere $0$ e quindi moltiplicando ad ${[1]/[(x-1)/(x)]}$ non dovrebbe dare 0 ?
grazie dei chiarimenti
cordiali saluti.
"mat100":
[quote="Mathcrazy"]
Fantastico Math!
ho capito adesso dopo aver fatto un pò di esercizi, che non bisogna accanirci nella ricerca di una forma sempre più compatta dell'espressione che ci dà la formula;
Per il resto; volevo porre un esercizietto un pò più delicato!
derivare $f(x)= log (x-1)/(x) $ ; il risultato è $1/[x(x-1)]$
la funzione $(x-1)/x $ è da vedere come $(f(x)/g(x))^{\prime}$ ..??? non mi riesco a spiegare il risultato;
la derivata di $(x-1)/(x)$ dovrebbe essere $0$ e quindi moltiplicando ad ${[1]/[(x-1)/(x)]}$ non dovrebbe dare 0 ?
grazie dei chiarimenti
cordiali saluti.
[/quote]Attento agli argomenti, attento agli argomenti ,attento agli argomenti
non smetterò di ricordartelo!!$f(x)= log (x-1)/(x)$ significa $f(x)= (log (x-1)) * (1/(x))$.
Perchè hai portato la $x$ del denominatore nell'argomento del logaritmo??
In quel caso avresti trovato: $f(x)= log ((x-1)/(x))$, ma non è il caso.
E' come se ti do: $log(3)/5$ e tu me lo scrivi: $log(3/5)$; è sbagliato..
Non modificare le tracce degli esercizi.
"Mathcrazy":
[/quote]
Attento agli argomenti, attento agli argomenti ,attento agli argomenti
$f(x)= log (x-1)/(x)$ significa $f(x)= (log (x-1)) * (1/(x))$.
Perchè hai portato la $x$ del denominatore nell'argomento del logaritmo??
In quel caso avresti trovato: $f(x)= log ((x-1)/(x))$, ma non è il caso.
E' come se ti do: $log(3)/5$ e tu me lo scrivi: $log(3/5)$; è sbagliato..
Non modificare le tracce degli esercizi.
forse ho scritto male l'esercizio... ma " la frase detta da te non è il caso"
è proprio questa la funzione da derivare $f(x)= log ((x-1)/(x))$
forse ho scritto male l'esercizio... ma " la frase detta da te non è il caso"
è proprio questa la funzione da derivare $f(x)= log ((x-1)/(x))$
Ah allora avevi scritto male :P
$f(x)= log ((x-1)/(x))$
La derivata del logaritmo è $1/[(x-1)/(x)] = x/(x-1)$
Poi devi derivare l'argomento $(x-1)/x$ e fai bene a pensarlo come $(f(x)/g(x))$
Cioè:
$D(f(x)/g(x)) = [(f'(x)*g(x)) - (g'(x) * f(x))] / (g(x))^2$
Non è $0$, controlla il numeratore.
"Mathcrazy":forse ho scritto male l'esercizio... ma " la frase detta da te non è il caso"
è proprio questa la funzione da derivare $f(x)= log ((x-1)/(x))$
Ah allora avevi scritto male
$f(x)= log ((x-1)/(x))$
La derivata del logaritmo è $1/[(x-1)/(x)] = x/(x-1)$
Poi devi derivare l'argomento $(x-1)/x$ e fai bene a pensarlo come $(f(x)/g(x))$
Cioè:
$D(f(x)/g(x)) = [(f'(x)*g(x)) - (g'(x) * f(x))] / (g(x))^2$
Non è $0$, controlla il numeratore.
giustissimo come avevo fatto io, teoricamente... nei passaggi che spiegò però no :
derivando il quoziente si ha $[1 (x) -(x-1) (1)]/[1]$ sicuramente sarà sbagliato, ma al numeratore $f(x)=x-1$ e al denominatore ho considerato come $g(x)$ la funzione $(x)$;
ammesso che questo procedimento sia giusto, il risultato della derivazione dell'argomento del logaritmo iniziale mi risulta $1/x^2$
e quindi la formula di derivazione di composta mi diventa: $(x)/(x-1) [1/x^2 ((x-1)/(x))]$ o per meglio scriverla $1/x^2[(x)/(x-1) [(x-1)/(x)]]$che pur quanto possa somigliare al denominatore del risultato dato dal libro, il numeratore non è certamente 1 .
Ps agli admin: Ma che faticaccia a scrivere,,, la barra spaziatrice si muove su e giù come impazzita. ho dovuto fare un Ctrl+c per copiare ed incollare ciò che sto scrivendo.
Consulta la sezione "Il nostro forum", se non trovi nulla apri una discussione lì, è quello il posto giusto per discutere di problemi tecnici.
Ps agli admin: Ma che faticaccia a scrivere,,, la barra spaziatrice si muove su e giù come impazzita. ho dovuto fare un Ctrl+c per copiare ed incollare ciò che sto scrivendo.
"mat100":
giustissimo come avevo fatto io, teoricamente... nei passaggi che spiegò però no :
derivando il quoziente si ha $[1 (x) -(x-1) (1)]/[1]$ sicuramente sarà sbagliato, ma al numeratore $f(x)=x-1$ e al denominatore ho considerato come $g(x)$ la funzione $(x)$;
ammesso che questo procedimento sia giusto, il risultato della derivazione dell'argomento del logaritmo iniziale mi risulta $1/x^2$
e quindi la formula di derivazione di composta mi diventa: $(x)/(x-1) [1/x^2 ((x-1)/(x))]$ o per meglio scriverla $1/x^2[(x)/(x-1) [(x-1)/(x)]]$che pur quanto possa somigliare al denominatore del risultato dato dal libro, il numeratore non è certamente 1 .
Ps agli admin: Ma che faticaccia a scrivere,,, la barra spaziatrice si muove su e giù come impazzita. ho dovuto fare un Ctrl+c per copiare ed incollare ciò che sto scrivendo.
Derivata logaritmo: $x/(x-1)$
Derivata argomento: $1/(x^2)$
Derivata totale: Derivata logaritmo x derivata argomento : $x/(x-1) * 1/x^2 = 1/(x(x-1))$
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