Esercizio derivabilità quasi ovunque

[Emperoraugust1]

Mi sono imbattuto nel seguente esercizio.
Sia $f:[0,2]->R$ definita da
$ f(x)=1/sqrt(x)$ se $x in [0,1]\Q$
$ f(x)=log x$ se $x in (1,2]\Q$
$ f(x)=2$ se $x in [0,2] nn Q$

1) Sia F(x)=$\int_{0}^{x} f(x) dx$ trovare i punti in cui $F'(x)=f(x)$
2) Determinare se F è a variazione limitata
3) Dire se F è assolutamente continua.

P.s L'integrale si deve interpretare come integrale di Lebesgue.


Io ho ragionato in questo modo:

2)F è variazione limitata perchè monotona.
3)F è assolutamente continua perché $f(x)$ è integrabile secondo lebesgue e quindi $f in L^1$
1) Per la uno ho qualche problemino. Io so che $F'=f $ quasi ovunque ma non so determinare i punti in cui l'uguaglianza è verificata.

Qualcuno sa darmi una mano?

[gugo82]

Per 1 basta usare il classico Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che consente di concludere che \(F^\prime (x)= f(x)\) per \(x\neq 0,1\).