Esercizio derivabilità
ho il seguente esercizio:
sia $f:[a,b]\to RR$ una funzione derivabile tale che $f(a)=0$ e $|f^{'}(x)|\leq |f(x)|$ per ogni $x$. Dimostrare che $f=0$.
Avevo pensato di dimostrarla per assurdo supponendo esista un $x_{0}$ tale che $f(x_{0})!=0$ ma non riesco ad ottenere nulla. qualche suggerimento?
grazie
sia $f:[a,b]\to RR$ una funzione derivabile tale che $f(a)=0$ e $|f^{'}(x)|\leq |f(x)|$ per ogni $x$. Dimostrare che $f=0$.
Avevo pensato di dimostrarla per assurdo supponendo esista un $x_{0}$ tale che $f(x_{0})!=0$ ma non riesco ad ottenere nulla. qualche suggerimento?
grazie
Risposte
Premettendo che sicuramente sarà non corretta..
Non si potrebbe fare per esempio in questo modo?
$|f'(x)|<|f(x)|=|lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h|<|f(x)|$
Nel punto $x=a$
$|lim_(h->0)(f(a+h)-f(a))/h|<|f(a)|$ Dato che $f(a)=0$ allora
$|lim_(h->0)(f(a+h))|/h|<0$
Ora siccome $|lim_(h->0)(f(a+h))|$ è in valore assoluto non può mai essere minore di 0, dunque affinchè la disuguaglianza sia soddisfatta il limite deve dare necessariamente 0
Ora se il limite fa 0 allora vuole dire $f(a+h)$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $h$, se è un infinitesimo allora
$f(a+h)=0$
Ora potrei prendere h grande quanto voglio ma comunque incremento ottengo sempre che la funzione vale 0, per cui è costantemente uguale a 0...
Ho tentato..
Spero nell'intervento di qualcuno che risolva il problema..interessa molto anche a me !
Non si potrebbe fare per esempio in questo modo?
$|f'(x)|<|f(x)|=|lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h|<|f(x)|$
Nel punto $x=a$
$|lim_(h->0)(f(a+h)-f(a))/h|<|f(a)|$ Dato che $f(a)=0$ allora
$|lim_(h->0)(f(a+h))|/h|<0$
Ora siccome $|lim_(h->0)(f(a+h))|$ è in valore assoluto non può mai essere minore di 0, dunque affinchè la disuguaglianza sia soddisfatta il limite deve dare necessariamente 0
Ora se il limite fa 0 allora vuole dire $f(a+h)$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $h$, se è un infinitesimo allora
$f(a+h)=0$
Ora potrei prendere h grande quanto voglio ma comunque incremento ottengo sempre che la funzione vale 0, per cui è costantemente uguale a 0...
Ho tentato..
Spero nell'intervento di qualcuno che risolva il problema..interessa molto anche a me !
quello che non mi convince è che tu sai solo che quando $h$ tende a zero allora sai che quel limite è zero ma chi ti dice che per $h$ grande è ancora vero? Mi spiego meglio tu sai che
$f(a+h)$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $h$ quando $h$ tende a zero. Ma non sai nulla quando $h$ non tende a zero.
spero di essermi spiegato.
$f(a+h)$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $h$ quando $h$ tende a zero. Ma non sai nulla quando $h$ non tende a zero.
spero di essermi spiegato.
Effettivamente non trovo nessuna giustificazione ai tuoi più che leciti dubbi al momento..
Stavo provando a ragionarci cercando di usare qualche teorema ma niente..Il testo dice solo questo giusto? Insomma bisogna dimostrare che la funzione in questione è costantemente uguale a 0..non si dice nulla a proprosito di
$f(b)$ ?
Stavo provando a ragionarci cercando di usare qualche teorema ma niente..Il testo dice solo questo giusto? Insomma bisogna dimostrare che la funzione in questione è costantemente uguale a 0..non si dice nulla a proprosito di
$f(b)$ ?
no nulla!
Considera la funzione \(g(x) = e^{-2x} f(x)^2\). Hai che \(g(a) = 0\) e \(g(x) \geq 0\) per ogni \(x\in [a,b]\). Adesso prova a calcolare \(g'(x)\) e vedi se riesci a dire qualcosa sul segno di \(g'\).
$g^{'}(x)=2e^{-2x}f(x)(f^{'}(x)-f(x))$.
adesso sfruttando $f^{'}(x)\leq |f(x)|$ e che $f=f^{+}-f^{-}$ dove $f^{+}$ ed $f^{-}$ sono la parte positiva e negativa di $f$ ottengo che
$g^{'}(x)\leq e^{-2x}f(x)f^{-}(x)$ ma non riesco a dire nulla sul segno del secondo membro.
adesso sfruttando $f^{'}(x)\leq |f(x)|$ e che $f=f^{+}-f^{-}$ dove $f^{+}$ ed $f^{-}$ sono la parte positiva e negativa di $f$ ottengo che
$g^{'}(x)\leq e^{-2x}f(x)f^{-}(x)$ ma non riesco a dire nulla sul segno del secondo membro.
Più semplicemente, moltiplicando per \(|f(x)|\) la disuguaglianza di partenza ottieni che \(|f(x) f'(x)| \leq f(x)^2\); poiché
\[
g'(x) = 2 e^{-2x}[f(x)f'(x) - f(x)^2]
\]
ottieni subito che \(g'(x) \leq 0\). Ma \(0 = g(a) \leq g(x)\) per ogni \(x\in [a,b]\), dunque...
\[
g'(x) = 2 e^{-2x}[f(x)f'(x) - f(x)^2]
\]
ottieni subito che \(g'(x) \leq 0\). Ma \(0 = g(a) \leq g(x)\) per ogni \(x\in [a,b]\), dunque...
dunque è la funzione nulla!
grazie ancora!
grazie ancora!
Ciao ho pensato a questo metodo che usa il teorema di Lagrange. Vedete se può andar bene.
Dimostro che $f$ è nulla sugli intervalli del tipo $[a,a+1/2]$.
Supponiamo per assurdo che non sia nulla e sia dunque $x_{0}$ un punto di massimo per $|f|$ con $f(x_{0})!=0$ dunque per il teorema di Lagrange applicato all intervallo $[a,x_{0}]$ esista $a
$f^{'}(z)=\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}=\frac{f(x_{0})}{x_{0}-a}$
adesso passando ai moduli e utilizzando il fatto che $|x_{0}-a|<1/2$ ed $x_{0}$ è un punto di massimo per $|f|$ ottengo che
$|f^{'}(z)|=\frac{|f(x_{0})|}{|x-a|}>|f(x_{0})|\geq |f(z)|$
assurdo.
Quindi $f$ è nulla su tali intervalli. Ripetendo il ragionamento per i successivi intervalli di ampiezza $1/2$ segue la tesi.
che dite?
Dimostro che $f$ è nulla sugli intervalli del tipo $[a,a+1/2]$.
Supponiamo per assurdo che non sia nulla e sia dunque $x_{0}$ un punto di massimo per $|f|$ con $f(x_{0})!=0$ dunque per il teorema di Lagrange applicato all intervallo $[a,x_{0}]$ esista $a
$f^{'}(z)=\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}=\frac{f(x_{0})}{x_{0}-a}$
adesso passando ai moduli e utilizzando il fatto che $|x_{0}-a|<1/2$ ed $x_{0}$ è un punto di massimo per $|f|$ ottengo che
$|f^{'}(z)|=\frac{|f(x_{0})|}{|x-a|}>|f(x_{0})|\geq |f(z)|$
assurdo.
Quindi $f$ è nulla su tali intervalli. Ripetendo il ragionamento per i successivi intervalli di ampiezza $1/2$ segue la tesi.
che dite?
"miuemia":
ho il seguente esercizio:
sia $f:[a,b]\to RR$ una funzione derivabile tale che $f(a)=0$ e $|f^{'}(x)|\leq |f(x)|$ per ogni $x$. Dimostrare che $f=0$.
Avevo pensato di dimostrarla per assurdo supponendo esista un $x_{0}$ tale che $f(x_{0})!=0$ ma non riesco ad ottenere nulla. qualche suggerimento?
grazie
Supponiamo per assurdo $f$ non si annulli ( identicamente), allora, a meno di scambiare $f$ con $-f,$ possiamo
supporre che esista $x_1\in (a, b]$ tale che$f(x_1) > 0.$ L'insieme
$ \{x\in[a,x_1] : f(x)=0\} $
è chiuso (poichè $f$ è continua) e non vuoto (poichè contiene $a.)$ Sia $x_0$ il punto di massimo di
tale insieme: risulta
\begin{align*} a \le x_0 < x_1, \quad f(x_0) = 0, \quad\mbox{e} \quad f > 0\quad \mbox {in} \quad(x_0, x_1].\end{align*}
Per $x\in [x_0, x_1],$ si ha
\begin{align*} |f'(x)|\le |f(x)|=f(x),\end{align*}
da cui moltiplicando per $e^{-x},$ otteniamo
\begin{align*}
e^{-x}f'(x)\le e^{-x}f(x) \quad \to \quad e^{-x}f'(x)- e^{-x}f(x) \le 0 ,\quad \forall x\in[x_0,x_1],
\end{align*}
ed osservando che $e^{-x}f'(x)- e^{-x}f(x) =(e^{-x}f)'(x)$ possiamo affermare che la funzione $x\mapsto e^{-x}f$ risulta monotona decrescente nell'intervallo $x\in [x_0, x_1]$ essendo minore di zero,e dunque $e^{-x_1}f(x_1)\le e^{-x_0}f(x_0)=0 $ da cui si ottieme che $f(x_1)\le0,$ il che risulta essere assuro in quanto avevamo posto $f(x_1)>0.$
scusate se riesumo questo post ma avrei dei dubbi sulla dimostrazione proposta da rigel..insomma non riesco a capire una cosa, come si fa a farsi venire in mente quella particolare $g(x)$?
insomma la dimostrazione e' stata fatta prendendo una classe di funzioni particolari, cioè aventi come primo fattore quell'$e^(-2x)$ ma non esiste un modo generale? :S
insomma la dimostrazione e' stata fatta prendendo una classe di funzioni particolari, cioè aventi come primo fattore quell'$e^(-2x)$ ma non esiste un modo generale? :S
Il metodo generale è basato sulle disuguaglianze differenziali; in questo caso si può adattare, in buona sostanza, la dimostrazione del lemma di Gronwall.
interessante
spulciando su Wikipedia dice che esiste anche una forma del lemma di gronwall integrale per le funzioni continue...secondo te si potrebbe fare una dimostrazione generale anche con quella versione che forse e' piu alla mia portata non avendo idea di dove mettere le mani con le equazioni differenziali?
spulciando su Wikipedia dice che esiste anche una forma del lemma di gronwall integrale per le funzioni continue...secondo te si potrebbe fare una dimostrazione generale anche con quella versione che forse e' piu alla mia portata non avendo idea di dove mettere le mani con le equazioni differenziali?
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