Esercizio dell'esame sulle serie di funzioni....aiuto
Qualcuno riesce a darmi una mano con questo esercizio dell'esame di Analisi II sulle serie di funzioni?
$sum_(n=0)^(oo)2^nsin^n(4x)$
1) Determinare, se esiste, il più grande intervallo O in cui la serie converge
2) Calcolare la somma di tale serie
3) Determinare un intervallo contenente l'origine in cui converge:
$sum_(n=0)^(oo)(2^nsin^n(4x)+(-1)^n(n)/(n^2+3)x^n)$
Quale criterio devo usare per studiare la convergenza della serie di seno? Come trovo la somma?
$sum_(n=0)^(oo)2^nsin^n(4x)$
1) Determinare, se esiste, il più grande intervallo O in cui la serie converge
2) Calcolare la somma di tale serie
3) Determinare un intervallo contenente l'origine in cui converge:
$sum_(n=0)^(oo)(2^nsin^n(4x)+(-1)^n(n)/(n^2+3)x^n)$
Quale criterio devo usare per studiare la convergenza della serie di seno? Come trovo la somma?
Risposte
"svarionman":
$sum_(n=0)^(oo)2^n\cdot \sin(4x)$
1) Determinare, se esiste, il più grande intervallo O in cui la serie converge 2) Calcolare la somma di tale serie
Perché la serie data converga in un p.to $x \in RR$, è necessario che esista $\lim_{n \to \infty} (2^n \cdot \sin(4x)) = 0$. Il che si verifica sse $\sin(4x) = 0$, i.e. $x = \k\frac{pi}{4}$, con $k \in ZZ$. Del resto, è evidente che, se $K = \{\k\frac{pi}{4}: k \in ZZ\}$ ed $x \in K$, allora la serie converge a zero. In altri termini, $K$ è esattamente l'insieme di convergenza puntuale della serie in esame, e il più grande intervallo $O$ che sia contenuto in $A$ è un p.to, arbitrariamente scelto fra gli infiniti numerabili che appartengono all'insieme.
"svarionman":
3) Determinare un intervallo contenente l'origine in cui converge: $sum_(n=0)^(oo)(2^nsin(4x)+(-1)^n(n)/(n^2+3)x^n)$
Poiché è richiesto di trovarne soltanto qualcuno, dico che ogni intervallo del tipo $[-a,a]$, per cui $0 < a < 1/2$, va più che bene.
Scusa, mi sono accorto ora che il seno è elevato alla n, ora correggo...
"svarionman":
Qualcuno riesce a darmi una mano con questo esercizio dell'esame di Analisi II sulle serie di funzioni?
$sum_(n=0)^(oo)2^nsin^n(4x)$
1) Determinare, se esiste, il più grande intervallo O in cui la serie converge
2) Calcolare la somma di tale serie
In tal caso, l'esercizio propone la solita fuffa di una serie geometrica di ragione $q(x) = 2\sin(4x)$, che è convergente (puntualmente) sse $|q(x)| < 1$, i.e. $-\frac{1}{2} < \sin(4x) < \frac{1}{2}$, con somma pari a $\frac{1}{1-q(x)}$.
"DavidHilbert":
[quote="svarionman"]Qualcuno riesce a darmi una mano con questo esercizio dell'esame di Analisi II sulle serie di funzioni?
$sum_(n=0)^(oo)2^nsin^n(4x)$
1) Determinare, se esiste, il più grande intervallo O in cui la serie converge
2) Calcolare la somma di tale serie
In tal caso, l'esercizio propone la solita fuffa di una serie geometrica di ragione $q(x) = 2\sin(4x)$, che è convergente (puntualmente) sse $|q(x)| < 1$, i.e. $-\frac{1}{2} < \sin(4x) < \frac{1}{2}$, con somma pari a $\frac{1}{1-q(x)}$.[/quote]
Grazie....mannaggia, era più facile di quello che pensavo...
Invece nel punto 3 dell'esercizio, la seconda serie è una serie di potenze o una serie a segni alterni?
Né l'una né l'altra. E comunque suppongo ci manchi una parentesi tonda, da qualche parte. 
"DavidHilbert":
Né l'una né l'altra. E comunque suppongo ci manchi una parentesi tonda, da qualche parte.
Dici?.....pùo darsi che abbia sbagliato a copiare il testo, dove andrebbe secondo te la parentesi? Così come l'ho scritta quale sarebbe il metodo per studiarne la convergenza?
"svarionman":
sum_(n=0)^(oo)(2^nsin^n(4x)+(-1)^n(n)/(n^2+3)x^n)
Non è per caso sum_(n=0)^(oo) (2^n \sin^n(4x) + (-1)^n n)/(n^2+3) x^n ?
"DavidHilbert":
[quote="svarionman"]
sum_(n=0)^(oo)(2^nsin^n(4x)+(-1)^n(n)/(n^2+3)x^n)
Non è per caso sum_(n=0)^(oo) (2^n \sin^n(4x) + (-1)^n n)/(n^2+3) x^n ?[/quote]
Sul foglio su cui ho ricopiato il testo dell'esame c'è scritto così....magari ho sbagliato a ricopiare. Come l'ho scritta io non c'è modo di studiarne la convergenza?
Ho potuto controllare il compito e la seconda serie è proprio così come l'ho scritta.....nessun suggerimento su una possibile soluzione?
La seconda la scrivi $sum_(n=0)^(+infty)2^nsin^n(4x)+sum_(n=0)^(+infty)((-1)^n)n/(n^2+3)x^n$. Sai che la prima converge se $|2sin(4x)|<1$, quindi studi la seconda, che e' una serie infinita a segni alterni che converge se $lim_(nto+infty)((-1)^n)n/(n^2+3)x^n=0$.
Scusate, ma quindi la x deve essere trattata come una costante oppure è il parametro che devo esplicitare per definire la convergenza della serie?
Voglio dire, per la prima basta scrivere $-\frac{1}{2} < \sin(4x) < \frac{1}{2}$, oppure devo fare l'inverso del seno e scrivere $-\frac{Pi}{24} < \x < \frac{Pi}{24}$?
Nella seconda invece, per studiare la convergenza, non dovrei considerare solo il $lim_(nto+infty)(n/(n^2+3)x^n)$ tralasciando il $(-1)^n$? Sempre riguardo al secondo esercizio, la seconda serie quindi è irrilevante per quanto riguarda l'insieme di convergenza oppure devo trovare un' insieme di x per cui il limite all'infinito è zero? In tal caso, come si fa?
Perdonatemi il numero di domande, ma per le serie sono proprio negato....
Voglio dire, per la prima basta scrivere $-\frac{1}{2} < \sin(4x) < \frac{1}{2}$, oppure devo fare l'inverso del seno e scrivere $-\frac{Pi}{24} < \x < \frac{Pi}{24}$?
Nella seconda invece, per studiare la convergenza, non dovrei considerare solo il $lim_(nto+infty)(n/(n^2+3)x^n)$ tralasciando il $(-1)^n$? Sempre riguardo al secondo esercizio, la seconda serie quindi è irrilevante per quanto riguarda l'insieme di convergenza oppure devo trovare un' insieme di x per cui il limite all'infinito è zero? In tal caso, come si fa?
Perdonatemi il numero di domande, ma per le serie sono proprio negato....
up 
"svarionman":
Voglio dire, per la prima basta scrivere $-\frac{1}{2} < \sin(4x) < \frac{1}{2}$, oppure devo fare l'inverso del seno e scrivere $-\frac{Pi}{24} < \x < \frac{Pi}{24}$?
Devi trovare l'insieme di convergenza di $x$, quindi la seconda.
Nella seconda invece, per studiare la convergenza, non dovrei considerare solo il $lim_(nto+infty)(n/(n^2+3)x^n)$ tralasciando il $(-1)^n$?
E' uguale, perché a te interessa la convergenza a $0$.
Sempre riguardo al secondo esercizio, la seconda serie quindi è irrilevante per quanto riguarda l'insieme di convergenza oppure devo trovare un' insieme di x per cui il limite all'infinito è zero? In tal caso, come si fa?
Devi verificare se gli insiemi di convergenza hanno elementi in comune. In caso negativo, niente convergenza, perché allora per qualsiasi $x$ ci sarà sempre almeno una serie divergente.
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