Esercizio definizione di limite

[Meetmat]

Non riesco a risolvere il seguente esercizio:

Es: Mostrare attraverso la definizione di limite che $ lim_(x->infty)|cosx/x|=0 $

Applicando la definizione ottengo che:
$ lim_(x->infty)|cosx/x|=0 $ se $ AA epsi>0 EE K>0(K=K(epsi)): |cosx/x|K $

Da qui provo a risolvere la disequazione $ |cosx/x|
Grazie.

[gugo82]

Cosa succedi se tieni presente che \(|\cos x|\leq 1\)?

[Meetmat]

ottengo che $ |cosx/x|<=1/|x| $ e da qui potrei anche dire che $ 1/|x|<1/|K| $ se $ |x|>K $. Il fatto è che arrivato qui non riesco a capire cosa posso dire, cioè: posso utilizzare la seguente disuaglianza $ |cosx/x|<=1/|x|
Grazie.

[gugo82]

Ma il numero \(\varepsilon\) lo devi considerare fissato, non libero di andarsene a zero per fatti suoi (in altre parole, è come un parametro, non è una variabile); quindi la relazione \(\frac{1}{|x|}<\varepsilon\) la devi interpretare come una limitazione sulla variabile \(x\), non sul parametro \(\varepsilon\).

L'approccio a queste questioni mediante l'uso di opportune maggiorazioni l'ho analizzato qui nel caso di limiti in più variabili, ma il ragionamento è del tutto analogo nel caso di funzioni di una sola variabile. Prova a leggere; se non ti torna, provo a postarti qualcosa in serata (ora devo andare a lezione).

[Meetmat]

Ora guardo.Grazie mille gentilissimo.

[Meetmat]

Dunque posso dire che:

$ |cosx/x|<=1/|x|<1/K $ se $ |x|>K $

e quindi se $ K=1/epsi $ ottengo che $ |cosx/x|

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