Esercizio da integrale a serie numerica

[claudio_p88]

allora ho il seguente quesito devo esprimere il seguente integrale come serie numerica \(\displaystyle \int_{0}^{1/2}Log(1-2x) \), allora premettendo che ho già la soluzione ho dei dubbi che spero qualcuno riesca a chiarirmi, innanzitutto so per gli sviluppi di Taylor che \(\displaystyle Log(1+x)=\sum_{n=0}^\infty\frac {(-1)^{n+1}}{n}x^n \), ora la soluzione del libro mi dice che \(\displaystyle Log(1-2x)= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}(-2x)^{n+1} \), quello che non riesco a capire è perchè scompaia il +1 da \(\displaystyle (-1)^{n+1} \) e perchè venga aggiunto a denominatore e anche in
\(\displaystyle (-2x)^{n+1} \), la seconda cosa che mi chiedo è perchè la serie converga nell'intervallo \(\displaystyle [0,1/2] \) da che cosa lo deduco? grazie anticipatamente.

[gugo82]

Guarda che la serie di Taylor che riporti non è corretta.
L'indice iniziale, soprattutto...

[claudio_p88]

Scusa per l'errore banale con l'indice giusto torna tutto,l'unico dubbio che mi rimane è perchè ci sia convergenza uniforme nell'intervallo, come faccio a verificare che la convergenza è uniforme?

[avmarshall]

puoi provare la convergenza totale. se verifichi che la serie converge totalmente nell'intervallo considerato allora converge anche uniformemente!

[dissonance]

Ma non occorre. Le serie di potenze convergono sempre totalmente su ogni sottoinsieme compatto del loro insieme di convergenza.

[claudio_p88]

scusate l'ignoranza, ma un esempio rapido si potrebbe avere? Corregetemi se sbaglio questa serie converge in quanto è riconducibile a una serie geometrica la cui ragione è sempre minore di 1, poichè l'intervallo è [0,1/2] o sto dicendo una cosa senza senso?