Esercizio da Gilardi: costruisci funzione integrabile..
Tra gli esercizi proposti da Gilardi sul suo sito:
Non saprei come risolverlo. Un po' di osservazioni che lasciano il tempo che trovano: la funzione non è continua, se lo fosse sarebbe identicamente nulla, ma del resto a me serve discontinua..
Come faccio allora a garantire l'integrabilità? Senza sporcarmi le mani con la definizione, stavo pensando di definire ad hoc una funzione monotona. Il punto è che se le lascio un valore costante per un intervallo, allora l'integrale non è più nullo, e se la riporto a 0 dopo aver dato un valore non nullo su un razionale (l'idea era fare una funzione 0 sugli irrazionali, e boh sui razionali) non è più monotona..
Costruire $f: [0,1] \to RR$ non negativa, integrabile con integrale nullo e discontinua in ogni $x in [0,1]$ razionale.
Non saprei come risolverlo. Un po' di osservazioni che lasciano il tempo che trovano: la funzione non è continua, se lo fosse sarebbe identicamente nulla, ma del resto a me serve discontinua..
Come faccio allora a garantire l'integrabilità? Senza sporcarmi le mani con la definizione, stavo pensando di definire ad hoc una funzione monotona. Il punto è che se le lascio un valore costante per un intervallo, allora l'integrale non è più nullo, e se la riporto a 0 dopo aver dato un valore non nullo su un razionale (l'idea era fare una funzione 0 sugli irrazionali, e boh sui razionali) non è più monotona..
Risposte
Se non capisco male richiama la funzione di Dirichlet, una funzione definita sull'intervallo $[0,1]$ tale che $f(x)=1 \forall x \in \mathbb Q$ e $f(x)=0 \forall x \in \mathbb R-\mathbb Q$. La funzione non è integrabile secondo Riemann ma è integrabile secondo Lebesgue quindi se l'integrale che state trattando è quest'ultimo potrebbe proprio essere questa un esempio di funzione richiesta.
Chiaro, se è Lebesgue è facile. Però tutti gli altri esercizi erano su Riemann, e facevano parte di un insieme di esercizi di Analisi 1. Quindi..Riemann!
Io penserei a qualche successione di funzioni integrabili in $[0, 1]$ convergente uniformemente.
La prima idea è di sommare $f_1(x)=x-[x], f_2(x)=-(2x-[2x])/4, f_3(x)=(3x-[3x])/9,...$ ($$ indica la parte intera). Sono delle funzioni a dente di sega con una frequenza via via più grande ma una ampiezza via via più piccola.
$sum_{n=1}^inftyf_n(x)$ converge uniformemente perché $|f_n(x)|<1/(n^2)$, quindi la somma della serie è Riemann-integrabile. Ora bisogna vedere:
1) quanto fa l'integrale della funzione somma, sperando che sia 0;
2) se la funzione somma è discontinua nei razionali o solo nei razionali diadici (quelli con denominatore $2^n$).
Mah. Adesso sono troppo stanco per fare queste verifiche.
[edit] Mi sa che la 1) fallisce. Comunque resto dell'idea di usare una serie di funzioni, si tratta di migliorare la scelta delle funzioni da sommare.
La prima idea è di sommare $f_1(x)=x-[x], f_2(x)=-(2x-[2x])/4, f_3(x)=(3x-[3x])/9,...$ ($
1) quanto fa l'integrale della funzione somma, sperando che sia 0;
2) se la funzione somma è discontinua nei razionali o solo nei razionali diadici (quelli con denominatore $2^n$).
Mah. Adesso sono troppo stanco per fare queste verifiche.
[edit] Mi sa che la 1) fallisce. Comunque resto dell'idea di usare una serie di funzioni, si tratta di migliorare la scelta delle funzioni da sommare.
L'integrabilità è una proprietà stabile per la convergenza uniforme?
Così non mi sovviene, ma se lo usi sicuramente sarà vero!
Prometto di provare a dimostrarlo da solo domattina, più fresco.
Così non mi sovviene, ma se lo usi sicuramente sarà vero!
Prometto di provare a dimostrarlo da solo domattina, più fresco.
"Gaal Dornick":
L'integrabilità è una proprietà stabile per la convergenza uniforme?
Questo è il mitico Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale del corso di Francesco Altomare. Se hai ancora i suoi appunti, lì c'è, sono sicuro. Oppure puoi consultare il Rudin Principi di analisi matematica: è il teorema 7.16 (pag. 349 edizione italiana).
C'è una funzione abbastanza nota che soddisfa le proprietà richieste, direi. Ho visto che esiste, io non ci sarei mai arrivato. 
Interessa sapere qual è o preferite continuare l'esercizio?
Interessa sapere qual è o preferite continuare l'esercizio?
"dissonance":
Questo è il mitico Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale del corso di Francesco Altomare.
Mitico?
La dimostrazione di questo teorema è poco più di un banale esercizio. Sembrerebbe che la definizione di integrale nel senso di Riemann e quella di convergnenza uniforme siano date apposta per rendere banale la dimostrazione.
"del corso di Francesco Altomare"? meno male che dici "del corso di": per un attimo ho temuto che Altomare spacciasse per suo questo teorema (vedi: https://www.matematicamente.it/forum/app ... 46131.html)
[size=75]PS: ad Amel, l'hai trovata, eh? E' uno di quesi casi in cui si parla di un esempio, ma c'è l'esempio.[/size]
Non so quale sia la funzione di cui parla amel, io dico la mia idea.
Intanto bisogna ricordare che una funzione limitata su un intervallo e' Riemann integrabile se e solo se e' continua tranne che in un insieme di
misura nulla (secondo Lebesgue). Dato poi che la nostra $f$ deve essere positiva e con integrale nullo essa chiaramente
deve essere nulla quasi ovunque. Viene quindi spontaneo prenderla zero sugli irrazionali e maggiore di zero sui razionali.
Naruralmente la funzione di Dirichelet non funziona in quanto e' discontinua ovunque per cui bisogna escogitare un valore
da dare a $f(p/q)$ che tenda a zero se $p/q\to x$ con $x$ irrazionale.
Credo proprio che questo valore sia $1/q$ (anche perche' mi ricordo di un esercizio sul libro di Analisi del Prodi
) - ovviamente
con $p$ e $q$ primi tra loro.
In sostanza bisogna dimostrare che se $\frac{p_n}{q_n}\to x$, $x\notin QQ$ allora $q_n\to\infty$ che non dovrebbe essere difficile
Intanto bisogna ricordare che una funzione limitata su un intervallo e' Riemann integrabile se e solo se e' continua tranne che in un insieme di
misura nulla (secondo Lebesgue). Dato poi che la nostra $f$ deve essere positiva e con integrale nullo essa chiaramente
deve essere nulla quasi ovunque. Viene quindi spontaneo prenderla zero sugli irrazionali e maggiore di zero sui razionali.
Naruralmente la funzione di Dirichelet non funziona in quanto e' discontinua ovunque per cui bisogna escogitare un valore
da dare a $f(p/q)$ che tenda a zero se $p/q\to x$ con $x$ irrazionale.
Credo proprio che questo valore sia $1/q$ (anche perche' mi ricordo di un esercizio sul libro di Analisi del Prodi
) - ovviamentecon $p$ e $q$ primi tra loro.
In sostanza bisogna dimostrare che se $\frac{p_n}{q_n}\to x$, $x\notin QQ$ allora $q_n\to\infty$ che non dovrebbe essere difficile
Yes, è proprio quella, è la funzione di Thomae.
"amel":
Yes, è proprio quella, è la funzione di Thomae.
Mai saputo che fosse di Thomae!!!
"dissonance":
[quote="Gaal Dornick"]L'integrabilità è una proprietà stabile per la convergenza uniforme?
Questo è il mitico Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale del corso di Francesco Altomare. Se hai ancora i suoi appunti, lì c'è, sono sicuro. Oppure puoi consultare il Rudin Principi di analisi matematica: è il teorema 7.16 (pag. 349 edizione italiana).[/quote]
Tutto questo non fa che dimostare che ho odiato quel corso, e che mi sa che è l'ora che lo ristudi!
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