Esercizio curva
Sia data la curva:
$gamma=\{(x=cos^3t),(y=sin^3t):}$
con $t\in(0,pi)$
a) Stabilire se la curva è chiusa e regolare:
$gamma(a)!=gamma(b)$ quindi non è chiusa infatti $gamma(a)=1,0,gamma(b)=-1,0$
$||gamma'||=sqrt((-3cos^2sint)^2+(3sin^2tcost)^2)>0$
da cui $=sqrt((9(cos^4+sin^4t)+sin^2+cos^2t)>0$
$=sqrt((9(cos^4+sin^4t)+1)>0$ che è maggiore di zero per ogni t... giusto?
solo che guardando il grafico noto che è regolare a tratti... dove sbaglio?
b)Scrivere un eq cartesiana della curva:
$x=cos^t -> t=arccos(x^(1/3))$
sostituisco in y -> $y=sin^3(arccos(x^(1/3)))$ è giusta?
c) Calcolare la lunghezza della traccia della curva:
$\int_{0}^{pi} sqrt((9(cos^4+sin^4t)+1) dt$ come lo risolvo????
d) risolvere
$\int_gamma xds$ idem come sopra
$gamma=\{(x=cos^3t),(y=sin^3t):}$
con $t\in(0,pi)$
a) Stabilire se la curva è chiusa e regolare:
$gamma(a)!=gamma(b)$ quindi non è chiusa infatti $gamma(a)=1,0,gamma(b)=-1,0$
$||gamma'||=sqrt((-3cos^2sint)^2+(3sin^2tcost)^2)>0$
da cui $=sqrt((9(cos^4+sin^4t)+sin^2+cos^2t)>0$
$=sqrt((9(cos^4+sin^4t)+1)>0$ che è maggiore di zero per ogni t... giusto?
solo che guardando il grafico noto che è regolare a tratti... dove sbaglio?
b)Scrivere un eq cartesiana della curva:
$x=cos^t -> t=arccos(x^(1/3))$
sostituisco in y -> $y=sin^3(arccos(x^(1/3)))$ è giusta?
c) Calcolare la lunghezza della traccia della curva:
$\int_{0}^{pi} sqrt((9(cos^4+sin^4t)+1) dt$ come lo risolvo????
d) risolvere
$\int_gamma xds$ idem come sopra
Risposte
Inizio a rispondere al punto b).
Quella che hai scritto tu può anche essere corretta (ma bisogna fare attenzione, con queste inversioni, ai domini), ma al 99% non è la soluzione voluta. In questi casi, di solito si ricorre a questo trucco:
[tex]\begin{cases} x = \cos^3(t) \\ y = \sin^3(t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{\frac{1}{3}} = \cos(t) \\ y^{\frac{1}{3}} = \sin(t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{\frac{2}{3}} = \cos^2(t) \\ y^{\frac{2}{3}} = \sin^2(t) \end{cases}[/tex]
e adesso, sommando termine a termine trovi l'equazione della parte superiore del bellissimo astroide: [tex]x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1[/tex], ricordando che deve essere [tex]y\geq 0[/tex].
Quella che hai scritto tu può anche essere corretta (ma bisogna fare attenzione, con queste inversioni, ai domini), ma al 99% non è la soluzione voluta. In questi casi, di solito si ricorre a questo trucco:
[tex]\begin{cases} x = \cos^3(t) \\ y = \sin^3(t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{\frac{1}{3}} = \cos(t) \\ y^{\frac{1}{3}} = \sin(t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{\frac{2}{3}} = \cos^2(t) \\ y^{\frac{2}{3}} = \sin^2(t) \end{cases}[/tex]
e adesso, sommando termine a termine trovi l'equazione della parte superiore del bellissimo astroide: [tex]x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1[/tex], ricordando che deve essere [tex]y\geq 0[/tex].
a ok... ma in base a cosa posso dire quale è giusta e quale è sbagliata?
up
Mah... non è che la tua è sbagliata... il punto è che si cerca sempre di scrivere le soluzioni nel modo più semplice possibile... e se possibile evitare il ricorso a funzioni trascendenti (annidate). Ma è solo una "abitudine"...
Poi, per il punto a): qual è la definizione di curva regolare? Perché tu hai scritto una cosa quasi tautologica: è ovvio che la norma sia maggiore di zero. Dovresti invece andare a controllare dove la norma si annulla... ma sei proprio sicuro che risolvere [tex]||\gamma^\prime(t)|| = 0[/tex] sia la soluzione più conveniente?
Poi, per il punto a): qual è la definizione di curva regolare? Perché tu hai scritto una cosa quasi tautologica: è ovvio che la norma sia maggiore di zero. Dovresti invece andare a controllare dove la norma si annulla... ma sei proprio sicuro che risolvere [tex]||\gamma^\prime(t)|| = 0[/tex] sia la soluzione più conveniente?
no non lo so 
infatti chiedo consigli e suggerimenti.... io ho agito come da lezione
infatti chiedo consigli e suggerimenti.... io ho agito come da lezione
Beh, la norma si annulla se e solo se il vettore è il vettore nullo. Quindi potrebbe essere più semplice, posto [tex]\gamma^\prime(t) = (x^\prime(t),y^\prime(t))[/tex], risolvere il sistema
[tex]\begin{cases} x^\prime(t) = 0 \\ y^\prime(t) = 0\end{cases}[/tex]
Prova un po' nel tuo caso... Vedrai che qualche punto di non regolarità salta fuori. Probabilmente nel calcolare la norma (io non ho controllato i tuoi conti) hai fatto degli errori, che è molto facile fare, dato che calcolare la norma è piuttosto lungo.
[tex]\begin{cases} x^\prime(t) = 0 \\ y^\prime(t) = 0\end{cases}[/tex]
Prova un po' nel tuo caso... Vedrai che qualche punto di non regolarità salta fuori. Probabilmente nel calcolare la norma (io non ho controllato i tuoi conti) hai fatto degli errori, che è molto facile fare, dato che calcolare la norma è piuttosto lungo.
non ho capito... quindi per vedere se ho punti di non regolarità devo vedere quando si annula gamma primo?
La definizione di curva regolare che conosco io è la seguente: una curva di equazione [tex]\gamma(t)[tex] definita da [tex][a,b] \to \mathbb{R}^n[/tex] è regolare se [tex]\gamma \in C^1([a,b])[/tex] e [tex]\gamma^\prime(t) \ne \overrightarrow{0}[/tex] per ogni [tex]t \in [a,b][/tex]. Quindi, se devo controllare la regolarità di una curva, ne annullo la derivata. Ovviamente questo è perfettamente equivalente a studiare dove la norma si annulla.
il prof ce l'ha spiegata quando è maggiore di zero.... mi informerò.... quindi io trovo gamma primo, e vedo dove si annulla... in quei punti non è regolare negli altri punti invece è regolare giusto? ovviamente se anche gamma è derivabile...
Sì, la definizione che conosco io è quella.
Però, guarda la norma della derivata in un punto è strettamente maggiore di 0 se e solo se la derivata non si annulla in quel punto. Ti è chiaro questo?
Però, guarda la norma della derivata in un punto è strettamente maggiore di 0 se e solo se la derivata non si annulla in quel punto. Ti è chiaro questo?
quest'ultima cosa no.... ma ho sbagliato qualcosa?
Probabilmente hai sbagliato a fare i conti nel calcolo della norma, perché la curva è regolare a tratti.
Comunque, se ti ricordi, la norma al quadrato è una forma quadratica definita positiva, quindi si annulla se e solo se l'argomento è nullo in partenza.
Detto in parole più semplici sussiste la seguente relazione: [tex]||\overrightarrow{x}|| = 0 \iff \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/tex].
Si tratta, nel caso della norma standard, di un'osservazione piuttosto banale, ma che torna utile in moltissimi casi.
Comunque, se ti ricordi, la norma al quadrato è una forma quadratica definita positiva, quindi si annulla se e solo se l'argomento è nullo in partenza.
Detto in parole più semplici sussiste la seguente relazione: [tex]||\overrightarrow{x}|| = 0 \iff \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/tex].
Si tratta, nel caso della norma standard, di un'osservazione piuttosto banale, ma che torna utile in moltissimi casi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo