Esercizio Convergenza successione di funzioni

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio di analisi due.

Si determini il limite puntuale della successione di funzioni

$ Fn:Rrarr R $

$ Fn(x) = (n^2x^2)/(1+n^2x^2)* e^(n/(n+1)) $

Provare inoltre che

1 ) la successione non converge uniformemente in $ R $
2) La successione converge uniformemente in $ R \\ ]-1,1[ $


Per prima cosa ho fissato il generico x reale e ho calcolato il limite

$ lim_(n ->oo ) (n^2x^2)/(1+n^2x^2)* e^(n/(n+1)) $

$ = { ( 0, x=0 ),( e, x!=0 ):} $

Quindi la successione converge puntualmente in tutto l'insieme dei reali.

Devo distinguere altri casi per il limite? Non credo

Inoltre sfruttando un teorema ho detto che la convergenza non può essere uniforme in tutto l'insieme
dei reali perchè le successioni della funzione sono tutte continue mentre il limite puntuale no.

Per la convergenza uniforme in $ A $ ho calcolato la quantità

$ Sup | Fn(x)-F(x)| , x in A $

$ Sup | (n^2x^2)/(1+n^2x^2)*e^(n/(n+1))-e| , x in A $

quindi ho calcolato

$ F'n(x)= (e^(n/(n+1))*2n^2x)/(1+n^2x^2)^2 > 0 hArr x>0 $

Quindi le funzioni sono decrescenti prima di zero e crescenti dopo lo zero, presentando un minimo in zero.
Poi sono andata a vedere come si comportavano le funzioni a $ +- oo $ , calcolando

$ lim_(x -> +-oo) (n^2x^2)/(1+n^2x^2)*e^(n/(n+1))-e = e^(n/(n+1))-e = alpha $

Quindi il sup delle funzioni sarebbe $ e^(n/(n+1))-e $ giusto?

e poichè $ lim_(n -> oo) alpha= 0 $

allora ho detto che la convergenza è uniforme in $ A $ . E' corretto come ragionamento?

[21zuclo]

"Marthy_92":

Per la convergenza uniforme in $ R \ ]-1,1[$ ho calcolato la quantità

$ Sup | Fn(x)-F(x)| , x in A $

$ Sup | (n^2x^2)/(1+n^2x^2)*e^(n/(n+1))-e| , x in A $

mi sembrava che per questo tipo di esercizi siccome in $0$ hai una discontinuità

e nell'intervallo $I=[-1,1]$ vi è dentro lo $0$

Allora bisogna fare $ \forall delta >0, t.c., [-1,\delta]\cup [\delta,1] =J$

e poi bisogna calcolare il Sup sull'insieme J

[marthy_92]

21zuclo, scusami non avevo scritto correttamente l'insieme in cui studiare la convergenza uniforme.
Ho corretto il tutto nel messaggio precedente. L'insieme è

$ R \\ ]-1,1[ $

Una domanda. Perchè dici che le funzioni sono discontinue in $ 0 $?

[21zuclo]

"Marthy_92":
Una domanda. Perchè dici che le funzioni sono discontinue in $ 0 $?

Come hai calcolato tu il limite puntuale

"Marthy_92":
Per prima cosa ho fissato il generico x reale e ho calcolato il limite

$ lim_(n ->oo ) (n^2x^2)/(1+n^2x^2)* e^(n/(n+1)) $

$ = { ( 0, x=0 ),( e, x!=0 ):} $

lo vedi che per $x=0$ hai 1 salto?

[marthy_92]

Si ok, quindi nel mio ragionamento del primo messaggio cosa ho sbagliato?