Esercizio convergenza serie (metodi)
Salve a tutti, volevo sapere se potevate aiutarmi nella risoluzione di queste esercizio:
Si tratta di trovare la convergenza di una serie e stabilirne il suo valore esplicito come funzione.
la serie è definita così :
$ sum_(n = 0)^(\infty) \frac{(a)_n (a+1/2)_(n)}{(1/2)_(n)n!} z^n$
con $ (a)_(n) := a(a+1)....(a+n-1) $
ora, per quanto riguarda la parte della convergenza, usando il criterio di cauchy ottengo questa diseguaglianza
$\frac{(a+n+1/2)(a+n)z}{(n+1/2)(n+1)}<1$ al tendere di n all'infinito ho che |z|<1 detto questo non ho idea a) se ho fatto giusto b) come faccio a fare il passo successivo cioè trovare la funzione di partenza, un idea porteva essere di trasformare il tutto in gamma di eulero e scrivere la successione come $(a)_n=frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$ ma avrei delle restrizioni un po' elevate che mi vieterebbero ad esempio di assumere a negativi. Qualcuno mi può aiutare?
Si tratta di trovare la convergenza di una serie e stabilirne il suo valore esplicito come funzione.
la serie è definita così :
$ sum_(n = 0)^(\infty) \frac{(a)_n (a+1/2)_(n)}{(1/2)_(n)n!} z^n$
con $ (a)_(n) := a(a+1)....(a+n-1) $
ora, per quanto riguarda la parte della convergenza, usando il criterio di cauchy ottengo questa diseguaglianza
$\frac{(a+n+1/2)(a+n)z}{(n+1/2)(n+1)}<1$ al tendere di n all'infinito ho che |z|<1 detto questo non ho idea a) se ho fatto giusto b) come faccio a fare il passo successivo cioè trovare la funzione di partenza, un idea porteva essere di trasformare il tutto in gamma di eulero e scrivere la successione come $(a)_n=frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$ ma avrei delle restrizioni un po' elevate che mi vieterebbero ad esempio di assumere a negativi. Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Come calcoli il raggio di convergenza? Considerato che la serie la puoi pensare come $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ dove $b_n={(a)_n (a+1/2)_n}/{(1/2)_n n!}$ puoi calcolare il raggio di convergenza con il limite del rapporto, cioè
$R=\lim_{n\to+\infty}{b_n}/{b_{n+1}}$
$R=\lim_{n\to+\infty}{b_n}/{b_{n+1}}$
con cauchy solo che non ho fatto come te solo con i coefficienti della serie ma con tutta la serie.
Non capisco, è sbagliato fare come ho fatto io? Voglio dire i risultati sono diversi, in quanto tu sei in grado di trovare il valore di a per cui la funzione di partenza sia intera su tutto C mentre se calcolo il raggio di convergenza per tutta la serie ho che la serie per ogni a deve essere dentro il disco di raggio uno centrato nell'origine.
Non capisco, è sbagliato fare come ho fatto io? Voglio dire i risultati sono diversi, in quanto tu sei in grado di trovare il valore di a per cui la funzione di partenza sia intera su tutto C mentre se calcolo il raggio di convergenza per tutta la serie ho che la serie per ogni a deve essere dentro il disco di raggio uno centrato nell'origine.
Mi sa che stai interpretando male il testo dell'esercizio. Dal momento che $a$ è arbitrario, è ovvio che troverai un valore del raggio di convergenza diverso $R_a$ per ogni $a$ fissato e quindi potrai concludere della convergenza della serie di potenze sui diversi intervalli $(-R_a,R_a)$.
"maxspyderweb":
usando il criterio di cauchy ottengo questa diseguaglianza
$\frac{(a+n+1/2)(a+n)z}{(n+1/2)(n+1)}<1$ al tendere di n all'infinito ho che |z|<1
da quello che ho capito per n che tende all'infinito, arbitrario che sia a, ho un limite del tipo n^2/n^2 il raggio di convergenza non dipende da a nel mio caso, :S dove sbaglio?
$R=\lim_{n\to+\infty}|{(a)_n (a+1/2)_n}/{(1/2)_n n!}\cdot{(1/2)_{n+1} (n+1)!}/{(a)_{n+1} (a+1/2)_{n+1}}|=$
dal momento che per ogni $x$ si ha ${(x)_n}/{(x)_{n+1}}={x(x+1)...(x+n-1)}/{x(x+1)...(x+n-1)(x+n)}=1/{x+n}$
$=\lim_{n\to+\infty} 1/{a+n}\cdot 1/{a+1/2+n}\cdot (1/2+n)\cdot (n+1)=1$
per cui per ogni $a$ il raggio di convergenza è $1$. A questo punto puoi studiare la somma della serie sull'intervallo $(-1,1)$.
dal momento che per ogni $x$ si ha ${(x)_n}/{(x)_{n+1}}={x(x+1)...(x+n-1)}/{x(x+1)...(x+n-1)(x+n)}=1/{x+n}$
$=\lim_{n\to+\infty} 1/{a+n}\cdot 1/{a+1/2+n}\cdot (1/2+n)\cdot (n+1)=1$
per cui per ogni $a$ il raggio di convergenza è $1$. A questo punto puoi studiare la somma della serie sull'intervallo $(-1,1)$.
ottimo, ora però? Come mi muovo per trovare la funzione di partenza? Cosa consigli, se tu hai trovato già la soluzione e hai voglia di fare un po' più di lavoro, se riuscissi a indirizzarmi mi piacerebbe ^^ tanto.
cioè mi basta l'idea non l'esercizio svolto ^^
Sinceramente non mi sono messo a fare i conti su cosa venga fuori quando provi a determinare la somma della funzione. Probabilmente usando il fatto che $(a)_n={\Gamma(a+n)}/{\Gamma(a)}$ e la relazione che intercorre tra $\Gamma(a+1/2)$ e $\Gamma(a)$ dovresti riuscire a riscrivere il tutto in maniera più semplice e ricondurti a qualche serie nota (o a qualche sua derivata).
scusa per il disturbo, ma non ne vengo fuori è un bel po' che provo ma trasformare in gamma necessita la condizione troppo restrittiva di a>0 ho provato a fare un po' di conti a trasformare ma non vedo nulla che possa farmi venire in mente coefficienti di taylor
Guarda ci penso e ti rispondo domani perché ora ho la testa che mi uccide!
ok tranquillo grazie mille!
Ci ho penato su, ma alla fine ci sono arrivato. Allora, per prima cosa premettiamo alcuni fatti/definizioni. Abbiamo detto che, in generale
$(1)\qquad (x)_n={\Gamma(x+n)}/{\Gamma(x)}$ (e questo lo si vede banalmente usando le proprietà di $\Gamma$).
Inoltre si sa che
$(2)\qquad \Gamma(x)\cdot\Gamma(x+1/2)=2^{1-2x}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2x)$.
Ora, suppongo che tu le conosca, ma te le ridefinisco per comodità:
$x! =x(x-1)(x-2)....$ è il fattoriale generalizzato (ed è un prodotto infinito se $x\notin NN$)
$x!! =x(x-2)(x-4)(x-6)...$ è il doppio fattoriale generalizzato (prodotto dei numeri minori di $x$ che hanno la stessa "parità")
$((x),(k))={x!}/{k!(x-k)!}$ è il coefficiente binomiale generalizzato (qui $k\in NN$).
Inoltre, è anche noto che
$(3)\qquad 2^n n!\cdot (2n-1)!! =(2n)!$ (è una dimostrazione abbastanza semplice).
Detto questo, consideriamo il termine generico $b_n$: esso può riscriversi come (usando la $(1)$)
$b_n={\Gamma(a+n)\cdot\Gamma(a+n+1/2)\cdot\Gamma(1/2)}/{n!\cdot \Gamma(a)\cdot\Gamma(a+1/2)\cdot\Gamma(n+1/2)}=$
e usando la $(2)$ considerando a numeratore $x=a+n$ e a denominatore $x=a$
$=1/{n!}\cdot{2^{1-2a-2n}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2a+2n)}/{2^{1-2a}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2a)}\cdot{\Gamma(1/2)}/{\Gamma(n+1/2)}$
dalla proprietà della gamma di Eulero $\Gamma(x+m)=(x+m-1)...x\cdot\Gamma(x)$
$=1/{2^{2n} n!}\cdot{(2a+2n-1)(2a+2n-2)...(2a+1)(2a)}/{(1/2+n-1)(1/2+n-2)...(1/2+1)(1/2)}=$
usando al numeratore la definizione del fattoriale generalizzato e a denominatore facendo il denominatore comune nelle singole parentesi e notando che ci sono esattamente $n$ fattori ciascuno con un $2$ a denominatore
$=1/{2^{2n} n!}\cdot{(2a+2n-1)!}/{(2a-1)!}\cdot 1/{{(2n-1)(2n-3)(2n-5)...(3)(1)}/{2^n}}=$
semplificando e utilizzando la definizione di fattoriale doppio
$=1/{2^n n!}\cdot{(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n-1)!!}=$
e infine, per la $(3)$ e per la definizione di coefficiente binomiale generalizzato
$={(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n)!}=((2a-1),(2n))$
e pertanto la tua serie equivale a questa
$\sum_{n=0}^\infty ((2a-1),(2n)) z^n$
Ora dovresti riuscire a dedurre da solo quale sia la sua somma, ricordando che
$(1-x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty ((\alpha),(n)) x^n$
$(1)\qquad (x)_n={\Gamma(x+n)}/{\Gamma(x)}$ (e questo lo si vede banalmente usando le proprietà di $\Gamma$).
Inoltre si sa che
$(2)\qquad \Gamma(x)\cdot\Gamma(x+1/2)=2^{1-2x}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2x)$.
Ora, suppongo che tu le conosca, ma te le ridefinisco per comodità:
$x! =x(x-1)(x-2)....$ è il fattoriale generalizzato (ed è un prodotto infinito se $x\notin NN$)
$x!! =x(x-2)(x-4)(x-6)...$ è il doppio fattoriale generalizzato (prodotto dei numeri minori di $x$ che hanno la stessa "parità")
$((x),(k))={x!}/{k!(x-k)!}$ è il coefficiente binomiale generalizzato (qui $k\in NN$).
Inoltre, è anche noto che
$(3)\qquad 2^n n!\cdot (2n-1)!! =(2n)!$ (è una dimostrazione abbastanza semplice).
Detto questo, consideriamo il termine generico $b_n$: esso può riscriversi come (usando la $(1)$)
$b_n={\Gamma(a+n)\cdot\Gamma(a+n+1/2)\cdot\Gamma(1/2)}/{n!\cdot \Gamma(a)\cdot\Gamma(a+1/2)\cdot\Gamma(n+1/2)}=$
e usando la $(2)$ considerando a numeratore $x=a+n$ e a denominatore $x=a$
$=1/{n!}\cdot{2^{1-2a-2n}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2a+2n)}/{2^{1-2a}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(2a)}\cdot{\Gamma(1/2)}/{\Gamma(n+1/2)}$
dalla proprietà della gamma di Eulero $\Gamma(x+m)=(x+m-1)...x\cdot\Gamma(x)$
$=1/{2^{2n} n!}\cdot{(2a+2n-1)(2a+2n-2)...(2a+1)(2a)}/{(1/2+n-1)(1/2+n-2)...(1/2+1)(1/2)}=$
usando al numeratore la definizione del fattoriale generalizzato e a denominatore facendo il denominatore comune nelle singole parentesi e notando che ci sono esattamente $n$ fattori ciascuno con un $2$ a denominatore
$=1/{2^{2n} n!}\cdot{(2a+2n-1)!}/{(2a-1)!}\cdot 1/{{(2n-1)(2n-3)(2n-5)...(3)(1)}/{2^n}}=$
semplificando e utilizzando la definizione di fattoriale doppio
$=1/{2^n n!}\cdot{(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n-1)!!}=$
e infine, per la $(3)$ e per la definizione di coefficiente binomiale generalizzato
$={(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n)!}=((2a-1),(2n))$
e pertanto la tua serie equivale a questa
$\sum_{n=0}^\infty ((2a-1),(2n)) z^n$
Ora dovresti riuscire a dedurre da solo quale sia la sua somma, ricordando che
$(1-x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty ((\alpha),(n)) x^n$
ora tu dimmi. In un compito di 3 ore, insieme a un equazione differenziale da risolvere con laplace (con integrale complesso non banale) come ******* (sono solo asterischi, immagina tu) avrei potuto risolvere un esercizio del genere. Io ieri sera ero arrivato alla 1 e alla 2, ma giocandoci non sono riuscito a trovare la soluzione, complimenti.
In realtà, ero convinto sin dall'inzio che dovesse venire una cosa del genere. Per cui ho cercato di seguire una strada che mi permettesse di dimostrarlo. Non escludo la possibilità che ci sia qualche proprietà (che al momento non mi viene in mente) che ti permetta in un attimo di affermare quanto ho scritto. In ogni caso, arrivati a questo punto la determinazione della funzione non è poi così semplice. Bisogna pensarci un po'!
sono abbattuto, non ci arrivo.
"ciampax":
e infine, per la $(3)$ e per la definizione di coefficiente binomiale generalizzato
$={(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n)!}=((2a-1),(2n))$
hmm credo ci sia un errore, dovrebbe essere
$={(2a-1+2n)!}/{(2a-1)! (2n)!}=((2a-1+2n),(2n))$
pps, http://physics.units.it/didattica03/aa1 ... ti4_12.pdf eravamo in 20, circa, questi sono i risultati e scommetto al 100% che il tipo ha fatto solo il secondo esercizio e la convergenza di questo. (in ventesimi)
Ah sì, giusto, c'è quel $2n$ in più al termine superiore. Ora però la cosa mi sembra strana. Bisognerà fare una qualche traslazione o altro per ricondurlo alla serie binomiale.
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