Esercizio convergenza integrale doppio
Determinare per quali valori di a l'integrale converge
$ int int_(A) cosx/(x-y)^a dx dy $
sul dominio A dato da
$ 0<=x<=pi/2 $
e $ 0<=y<=sinx $
Io ho fatto le seguenti considerazioni
la funzione dentro l'integrale ha singolarità sulla retta x=y che interseca il dominio di integrazione nell'origine...
Il mio problema è che non riesco ad individuare gli estremi di integrazione ( il ranges delle variabili) e soprattutto a sbarazzarmi del cosx all'interno dell'integrale.Penso che un passaggio in coordinate polari non serva a nulla...però mi sapreste dare una mano?
Ho provato a fare una traslazione del dominio ma poi nn so come trasferire la traslazione all'interno dell'integrale...HELP ME
$ int int_(A) cosx/(x-y)^a dx dy $
sul dominio A dato da
$ 0<=x<=pi/2 $
e $ 0<=y<=sinx $
Io ho fatto le seguenti considerazioni
la funzione dentro l'integrale ha singolarità sulla retta x=y che interseca il dominio di integrazione nell'origine...
Il mio problema è che non riesco ad individuare gli estremi di integrazione ( il ranges delle variabili) e soprattutto a sbarazzarmi del cosx all'interno dell'integrale.Penso che un passaggio in coordinate polari non serva a nulla...però mi sapreste dare una mano?
Ho provato a fare una traslazione del dominio ma poi nn so come trasferire la traslazione all'interno dell'integrale...HELP ME
Risposte
[mod="dissonance"]Sposto in Analisi matematica. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
scusa dissonance...è ke credo sia abbastanza complicato e allora l'ho postato qui...grazie lo stesso x l'avvertimento
L'integrale assegnato converge quando converge [tex]\iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex].
Infatti si vede subito che tale integrale maggiora quello assegnato; d'altra parte, posto [tex]$B=A\cap B(o;\tfrac{\pi}{4})$[/tex], si ha:
[tex]$\iint_A \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y =\iint_B \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y $[/tex]
[tex]$\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(ricorda che il coseno è decrescente e positivo in [tex]$[0,\tfrac{\pi}{4}[$[/tex]), cosicché se l'integrale assegnato converge allora converge pure [tex]\frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex] e perciò anche [tex]\iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex].
Quindi ti basta studiare [tex]\iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex], cosa che non pare proibitiva.
Infatti si vede subito che tale integrale maggiora quello assegnato; d'altra parte, posto [tex]$B=A\cap B(o;\tfrac{\pi}{4})$[/tex], si ha:
[tex]$\iint_A \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y =\iint_B \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y $[/tex]
[tex]$\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(ricorda che il coseno è decrescente e positivo in [tex]$[0,\tfrac{\pi}{4}[$[/tex]), cosicché se l'integrale assegnato converge allora converge pure [tex]\frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex] e perciò anche [tex]\iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex].
Quindi ti basta studiare [tex]\iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y[/tex], cosa che non pare proibitiva.
grazie mille!
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