Esercizio continuità soluzione ODE

[Lorin1]

Avrei un dubbio sul seguente esercizio che, come avrete potuto intuire dal titolo, riguarda le equazioni differenziali ordinarie, in particolare mi viene chiesto se, preso il seguente problema di Cauchy:

$ { ( y'=root(3)(1+sin^2x+y^2) ),( y(0)=1 ):} $

è possibile dire che la soluzione è definita in tutto $RR$?

Ho poche idee, perchè è un pò di tempo che ho lasciato questi esercizi e avevo pensato di applicare il teorema di esistenza ed unicità della soluzione, ma non so del mio ragionamento qualcosa mi sfugge oppure il problema è banale. Se indico con
$f(x,y)=root(3)(1+sin^2x+y^2)$ essa è definita in $RRxRR$, in particolare nonostante la condizione iniziale $y(0)=1$, posso prolungare la soluzione dall'intervallo $[-a,a]$ a tutto $RR$. Chiedo scusa in anticipo per eventuali errori gravi nel ragionamento...

[gugo82]

Il secondo membro, \(f(x,y):=\sqrt[3]{1+\sin^2 x+y^2}\), è positivo e di classe \(C^\infty (\mathbb{R}^2)\); inoltre si vede che \(f(x,y)\) è a crescita al più lineare in \(y\)* (perché per ogni \(x\in \mathbb{R}\) asintoticamente si ha \(f(x,y)\approx |y|^{2/3}\) quando \(y\to \pm \infty\)) e, per la precisione, con un po' di conticini si dimostra che:
\[
f(x,y)\leq \sqrt[3]{2+y^2}\leq \sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt{6}} |y|\; .
\]
La sublinearità del secondo membro ti assicura, per un noto risultato di prolungamento (cfr. le dispense di Berti segnalate qui, Teo. 3.2.1, pag. 37), che gli integrali massimali del PdC sono definiti in tutto \(\mathbb{R}\).

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* [size=85]Si dice che la funzione \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) è a crescita al più lineare in \(y\) se esistono due funzioni continue \(M(x), Q(x)\geq 0\) tali che:
\[
|f(x,y)|\leq Q(x)+M(x)\ |y|
\]
per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).[/size]