Esercizio continuità funzione a due variabili

[stefa188]

Salve a tutti,
ho alcuni dubbi su un esercizio in cui devo provare la continuità della funzione:

$ g(x,y)={ ( (4x^2y^5)/(x^2+y^4)^2 rarr se (x,y)!= (0,0)),( 0 rarr se (x,y)=(0,0)):} $

Afficnhè lo sia è necessario che $ lim_((x,y) -> (0,0)) (4x^2y^5)/(x^2+y^4)^2 = f(0,0)=0 $

Ma se considero la restrizione della funzione a $ f(x,x) $ e ne verifico il limite per $ xrarr 0 $ ottengo:

$ lim_(x -> 0) (4x^7)/(x^2+x^4)^2 = lim_(x -> 0) (4x^7)/(x^4+2x^6+x^8) = lim_(x -> 0) (4x^3)/(1+2x^2+x^4) =+oo $ per confronto tra infinitesimi.

Cosa sto sbagliando?

Grazie mille a tutti per l'aiuto.

[cooper1]

passa a coordinate polari e vedi che risulta =0 sempre. in generale non basta una restrizione per dimostrare che la funzione sia continua (è una condizione necessaria ma non sufficiente).
EDIT: modifico un errore nel post. Grazie per averlo notato.

[stefa188]

Noo, ho avuto una svista, il limite risulta 0.
Mi ero convinto in quel modo ma in effetti $ lim_(x -> 0) (4x^7)/(x^2+x^4)^2 = lim_(x -> 0) (4x^7)/(x^4+2x^6+x^8) = lim_(x -> 0) (4x^3)/(1+2x^2+x^4) =0 $

Se provo infatti attraverso le maggiorazioni con il criterio di convergenza mi viene pure 0.


Scusate ancora per lo strafalcione.

[cooper1]

vedi modifica post precedente.