Esercizio continuità e derivabilità
Ciao a tutti, vorrei delle conferme sulla correttezza della risoluzione del seguente esercizio; ne approfitto anche per fare alcune domande su dei punti in cui sono dubbioso.
Trovare per quali $a$ e $b$ reali è continua e derivabile la funzione ${((x^2-2x)/(x+1), if x>0),(asinx+b,if x<=0):}$
Allora, l'unico punto critico è $x=0$. Dato che la funzione è ivi definita, ci basta imporre che $f(0)=lim_(xrarr0^+)f(x)$ e dunque $b=0$.
Primo dubbio: questo procedimento è corretto? Non ho bisogno di studiare anche il limite sinistro perché dato che la funzione ha un ramo in cui lo zero è definito posso direttamente valutarla lì, giusto? Non che faccia differenza, è solo una questione concettuale...
Dato che la continuità è necessaria per la derivabilità, teniamo fisso $b=0$; affinché sia derivabile in $x=0$ (nei due rami è sicuramente derivabile per i teoremi di composizione) deve esistere finito il limite del rapporto incrementale.
$lim(xrarr0^+) (f(x)-f(0))/x = -2$
Adesso, secondo dubbio: devo studiare il limite del rapporto incrementale a sinistra oppure posso semplicemente calcolare la derivata e valutarla in $0$? In tal caso avrei $f'(0)=a$ e quindi la funzione risulta derivabile se e solo se $a=-2$.
Sono sicuro che anche con il limite incrementale ottengo lo stesso risultato, ma non è un caso, vero? Terzo dubbio: posso procedere sempre in entrambi i modi, tranne quando il punto critico è definito a parte, ad esempio in una funzione del tipo $f(x)={(g(x), if x<0),(x_0, if x=0),(h(x), if x>0) :}$
Infine, quarto dubbio: vorrei sapere quando negli esercizi sulla derivabilità è equivalente studiare
$lim_(xrarrx_0^(+-))(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
e $lim_(xrarrx_o^(+-)) f'(x)$
perché vedo che in molti esercizi è usata anche la seconda forma. Credo che fare il limite del rapporto incrementale sia corretto in ogni situazione, ma la seconda forma può risparmiare molti conti a volte. Quando la posso utilizzare?
Grazie mille per le future risposte
Trovare per quali $a$ e $b$ reali è continua e derivabile la funzione ${((x^2-2x)/(x+1), if x>0),(asinx+b,if x<=0):}$
Allora, l'unico punto critico è $x=0$. Dato che la funzione è ivi definita, ci basta imporre che $f(0)=lim_(xrarr0^+)f(x)$ e dunque $b=0$.
Primo dubbio: questo procedimento è corretto? Non ho bisogno di studiare anche il limite sinistro perché dato che la funzione ha un ramo in cui lo zero è definito posso direttamente valutarla lì, giusto? Non che faccia differenza, è solo una questione concettuale...
Dato che la continuità è necessaria per la derivabilità, teniamo fisso $b=0$; affinché sia derivabile in $x=0$ (nei due rami è sicuramente derivabile per i teoremi di composizione) deve esistere finito il limite del rapporto incrementale.
$lim(xrarr0^+) (f(x)-f(0))/x = -2$
Adesso, secondo dubbio: devo studiare il limite del rapporto incrementale a sinistra oppure posso semplicemente calcolare la derivata e valutarla in $0$? In tal caso avrei $f'(0)=a$ e quindi la funzione risulta derivabile se e solo se $a=-2$.
Sono sicuro che anche con il limite incrementale ottengo lo stesso risultato, ma non è un caso, vero? Terzo dubbio: posso procedere sempre in entrambi i modi, tranne quando il punto critico è definito a parte, ad esempio in una funzione del tipo $f(x)={(g(x), if x<0),(x_0, if x=0),(h(x), if x>0) :}$
Infine, quarto dubbio: vorrei sapere quando negli esercizi sulla derivabilità è equivalente studiare
$lim_(xrarrx_0^(+-))(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
e $lim_(xrarrx_o^(+-)) f'(x)$
perché vedo che in molti esercizi è usata anche la seconda forma. Credo che fare il limite del rapporto incrementale sia corretto in ogni situazione, ma la seconda forma può risparmiare molti conti a volte. Quando la posso utilizzare?
Grazie mille per le future risposte
Risposte
Quando effettui uno studio di continuità e derivabilità, i limiti li devi studiare sia da destra che da sinistra, sopratutto per il limite del rapporto incrementale, perchè come hai detto tu, il limite da destra che da sinistra devono esistere finiti ed uguali.
Non capisco perchè mi dici che il punto critico è 0. 0 è il punto in cui devi studiare la derivabilità/continuità della funzione, ma già quando vai ad individuare il dominio della funzione puoi subito dire che il punto in cui non sarà sicuramente continua sarà x=-1 e noti subito che in zero è definita. Poi studi il limite ed ecco risolto . La funzione è sicuramente continua in zero. Per la derivabilità o fai il limite del rapporto incrementale, o come dicevi tu prima calcoli la derivata e vedi se in in x=0 è definita. Lo puoi anche fare così, però ovviamente è "meno formale" diciamo. Ma comunque non è sbagliato. Poi, non ho capito come sei arrivato a b=0
Non capisco perchè mi dici che il punto critico è 0. 0 è il punto in cui devi studiare la derivabilità/continuità della funzione, ma già quando vai ad individuare il dominio della funzione puoi subito dire che il punto in cui non sarà sicuramente continua sarà x=-1 e noti subito che in zero è definita. Poi studi il limite ed ecco risolto . La funzione è sicuramente continua in zero. Per la derivabilità o fai il limite del rapporto incrementale, o come dicevi tu prima calcoli la derivata e vedi se in in x=0 è definita. Lo puoi anche fare così, però ovviamente è "meno formale" diciamo. Ma comunque non è sbagliato. Poi, non ho capito come sei arrivato a b=0
Ciao, intanto ti ringrazio per la risposta, ma non sono d'accordo su molte cose.
In realtà no, la funzione è definita e sicuramente continua in $x=1$: nota che il denominatore $x+1$ non si annulla mai in quanto su quel ramo c'è la condizione $x>=0$.
Il punto critico è zero in quanto lì si incontrano i due rami della funzione. Su quello, proprio non c'erano dubbi
Questo punto l'ho risolto: non è proprio equivalente. Anche se spesso funziona, bisogna tirare in ballo il teorema di Darboux, ovvero che se il limite della derivata esiste finito, allora è derivabile in quel punto, ma se non esiste, non posso dire nulla sulla derivata. Quindi se funzia, tanto meglio, altrimenti si passa a calcolarsi il limite.
In generale sono d'accordo con te, ma se la funzione è definita in un ramo $g(x)$, allora dovrebbe essere $lim_(xrarrx_0) g(x)=g(x_0)$ (o almeno credo, proprio su questo aspettavo una conferma).
Credo di essermi espresso male lì sopra, il limite sinistro è $b$, quello destro è $0$, dunque la funzione è continua se e solo se $b=0$.
"Vicia":
Non capisco perchè mi dici che il punto critico è 0. 0 è il punto in cui devi studiare la derivabilità/continuità della funzione, ma già quando vai ad individuare il dominio della funzione puoi subito dire che il punto in cui non sarà sicuramente continua sarà x=-1 e noti subito che in zero è definita.
In realtà no, la funzione è definita e sicuramente continua in $x=1$: nota che il denominatore $x+1$ non si annulla mai in quanto su quel ramo c'è la condizione $x>=0$.
Il punto critico è zero in quanto lì si incontrano i due rami della funzione. Su quello, proprio non c'erano dubbi
"Vicia":
Per la derivabilità o fai il limite del rapporto incrementale, o come dicevi tu prima calcoli la derivata e vedi se in in x=0 è definita. Lo puoi anche fare così, però ovviamente è "meno formale" diciamo.
Questo punto l'ho risolto: non è proprio equivalente. Anche se spesso funziona, bisogna tirare in ballo il teorema di Darboux, ovvero che se il limite della derivata esiste finito, allora è derivabile in quel punto, ma se non esiste, non posso dire nulla sulla derivata. Quindi se funzia, tanto meglio, altrimenti si passa a calcolarsi il limite.
"Vicia":
Quando effettui uno studio di continuità e derivabilità, i limiti li devi studiare sia da destra che da sinistra
In generale sono d'accordo con te, ma se la funzione è definita in un ramo $g(x)$, allora dovrebbe essere $lim_(xrarrx_0) g(x)=g(x_0)$ (o almeno credo, proprio su questo aspettavo una conferma).
"Vicia":
Poi, non ho capito come sei arrivato a b=0
Credo di essermi espresso male lì sopra, il limite sinistro è $b$, quello destro è $0$, dunque la funzione è continua se e solo se $b=0$.
In realtà no, la funzione è definita e sicuramente continua in $x=1$: nota che il denominatore $x+1$ non si annulla mai in quanto su quel ramo c'è la condizione $x>=0$.
Ho scritto $x=-1$ senza il simbolo del dollaro probabilmente non l'hai letto. Ti dicevo che in questo punto la tua prima funzione non è definita come da dominio, ma la tua funzione in 0 è definita. Ti parlo di $(x^2-2x)/(x+1)$
Il punto critico è zero in quanto lì si incontrano i due rami della funzione. Su quello, proprio non c'erano dubbi
Certo, solo che avevo capito che stessi parlando per la prima sola funzione
Questo punto l'ho risolto: non è proprio equivalente. Anche se spesso funziona, bisogna tirare in ballo il teorema di Darboux, ovvero che se il limite della derivata esiste finito, allora è derivabile in quel punto, ma se non esiste, non posso dire nulla sulla derivata. Quindi se funzia, tanto meglio, altrimenti si passa a calcolarsi il limite.
Infatti è "poco formale" nel senso che non sempre funziona, anche se molto spesso è utile.
In generale sono d'accordo con te, ma se la funzione è definita in un ramo $g(x)$, allora dovrebbe essere $lim_(xrarrx_0) g(x)=g(x_0)$ (o almeno credo, proprio su questo aspettavo una conferma).
Questa è la definizione di funzione continua, in generale come ti dicevo dovresti studiare il limite sia da destra che da sinistra, però ovviamente se hai ad esempio come funzione $f(x)=x$ e devi verificare la continuità in 1 non ha senso che fai il limite da destra e da sinistra perchè comunque è ovvio che sia continua in quel punto. Però se hai funzioni più complesse, devi studiarlo per forza il limite da destra e da sinistra. O almeno io ho sempre fatto così.
Per la b, si non avevo capito bene come eri arrivato a quella conclusione
"Vicia":
Ho scritto x=−1 senza il simbolo del dollaro probabilmente non l'hai letto.
Ops, ti chiedo scusa, avevo letto bene, ma ho scritto male. Parlo proprio di $x=-1$; il ramo di cui parli è definito solo per le $x$ positive, dunque non si pone il problema. La funzione è continua in $x=-1$ perché per tale punto si deve considerare l'altro ramo che non ha problemi lì.
Per quanto riguarda il teorema di Darboux, siamo d'accordo, anche se non credo sia proprio una questione di formalità, è proprio che in certi casi è errata, ma... questa è una questione di formalità
"Vicia":
Questa è la definizione di funzione continua
Esatto, e per i teoremi di composizione, $asinx+b$ è continua sul suo dominio, e dal momento che questo include lo $0$, studiare il limite o valutare la funzione dovrebbe essere equivalente. Poi nessuno ci garantisce che l'altro ramo tenda a $0$ e dunque per vedere se non ci sono "strappi" si studia il limite.
O almeno, sono convinto che le cose stiano così, ma se non avessi dubbi non avrei aperto questo topic
Grazie Vulplasir, quel link dissipa ogni dubbio sul quarto punto.
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