Esercizio continuità e derivabilità
Salve a tutti . Avrei bisogno di una mano per questo esercizio
Data :
$f(x) = { ( x^2 - 4 , if x< 2 ),( root()(x-2) , if x >= 2):} $
Chiede di verificare se la funzione è continua e derivabile nel dominio , in seguito chiede di determinare massimi e minimi ( relativi e assoluti )
ho che f è continua in D per $ x != 2 $ , poi ho che limite destro e sinistro sono finiti e coincidono $ lim_(x ->2^+) f(x) = lim_ (x ->2^-) f(x) = 0 $ quindi posso dire che f è continua nel suo dominio in quanto non ci sono discontinuità
$ f^{\prime}(x)={ ( 2x ,if x<2),( 1/(2 root()((x - 2)) ), if x >2 ):} $ facendo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale risulta x =2 punto angoloso
Ora per quanto riguarda massimi e minimi , dovrei porre $ ( 2x) > 0 $ e $ 1/(2 root()(x - 2) )>0 $ , per la prima ho che x > 0 quindi f decresce in (-inf , 0) e cresce in (0, + inf) quindi x = 0 è punto di minimo relativo , la seconda è sempre crescente in R . Ora come faccio a determinare massimo e minimo assoluto ??
Nella risoluzione dice che $ lim_(x -> oo ) f(x) = oo $ quindi il massimo assoluto non esiste ...qualcuno mi spiega perchè?
Invece, se dato un esercizio del genere chiedesse di determinare massimo e minimo in un intervallo chiuso [a,b] come dovrei procedere ?
Data :
$f(x) = { ( x^2 - 4 , if x< 2 ),( root()(x-2) , if x >= 2):} $
Chiede di verificare se la funzione è continua e derivabile nel dominio , in seguito chiede di determinare massimi e minimi ( relativi e assoluti )
ho che f è continua in D per $ x != 2 $ , poi ho che limite destro e sinistro sono finiti e coincidono $ lim_(x ->2^+) f(x) = lim_ (x ->2^-) f(x) = 0 $ quindi posso dire che f è continua nel suo dominio in quanto non ci sono discontinuità
$ f^{\prime}(x)={ ( 2x ,if x<2),( 1/(2 root()((x - 2)) ), if x >2 ):} $ facendo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale risulta x =2 punto angoloso
Ora per quanto riguarda massimi e minimi , dovrei porre $ ( 2x) > 0 $ e $ 1/(2 root()(x - 2) )>0 $ , per la prima ho che x > 0 quindi f decresce in (-inf , 0) e cresce in (0, + inf) quindi x = 0 è punto di minimo relativo , la seconda è sempre crescente in R . Ora come faccio a determinare massimo e minimo assoluto ??
Nella risoluzione dice che $ lim_(x -> oo ) f(x) = oo $ quindi il massimo assoluto non esiste ...qualcuno mi spiega perchè?
Invece, se dato un esercizio del genere chiedesse di determinare massimo e minimo in un intervallo chiuso [a,b] come dovrei procedere ?
Risposte
Ma è molto semplice, se tu trovi che da qualche parte la tua funzione tende a $+\infty$ allora non può esistere un massimo assoluto perché la funzione non è limitata superiormente. Pensa alla definizione anche solo concettuale di massimo assoluto. Il massimo assoluto dovrebbe essere il valore MASSIMO che la funzione assume su tutto il dominio, ora a me sembra piuttosto evidente che se da qualche parte la funzione tende ad assumere un valore infinitamente positivo allora non può esistere un valore massimo che la funzione assume, perché qualunque numero è minore di $+\infty$.
se ti chiedi perché invece l'ha trovato con un limite è anche questo molto semplice, in tutti i punti in cui la funzione è continua allora è chiaramente anche limitata, cioè non può esistere un certo $x$ per cui $f(x)=\pm \infty$ quindi se la funzione tende a diventare infinitamente positiva o negativa, non lo può fare in un punto dove la funzione è continua, quindi lo può fare solo in due tipi di posti:
1) i punti di discontinuità (se ce ne sono, nel tuo caso non ce n'erano)
2) gli estremi del dominio (nel tuo caso il dominio è $(-\infty , +\infty)$ )
in questi posti non si può valutare la funzione, ma bisogna fare il limite.
Ora se trovi che da qualche parte la funzione tende a $+\infty$ allora non esiste massimo per il discorso di prima (ma il Sup della funzione sarà più infinito), se trovi che da qualche parte la funzione tende a $-\infty$ la funzione non può avere minimo sempre per il discorso di prima (ma l'Inf della funzione sarà meno infinito).
Ora se la funzione non va a infinito da nessuna parte allora, se ne può discutere.
Se scopri che da qualche parte la funzione tende a un numero, allora dipende, c'è tutta una casistica, però non vorrei elencare tutti i casi possibili... il mio consiglio è usare il cervello e provare a disegnare le funzioni... la casistica è secondo me piuttosto intuitiva... il fulcro è che il massimo assoluto deve essere un numero $M$, deve esistere una $x_0$ tale per cui $f(x_0)=M$ e non deve esistere nessun altra $x$ tale per cui $f(x)>M$ e chiaramente se hai che la funzione da qualche parte tende a un numero maggiore di $M$ o a più infinito allora chiaramente non hai nessun massimo assoluto.
Piuttosto se non ti è chiaro il discorso porta un po' di esempi e ne discutiamo fin quando non ti arriva l'illuminazione...
se dovevi determinare il massimo e il minimo su un intervallo chiuso e limitato ( $[a,b]$ è chiuso e limitato) allora il teorema di Weistrass ti garantisce che DEVONO esistere il massimo e il minimo assoluti nell'intervallo.
Per trovarli e molto semplice tu prima cerchi con le derivate se all'interno dell'intervallo ci sono minimi o massimi relativi.
Se ci sono valuti la funzione in tali punti e la confronti con i valori agli estremi dell'intervallo scoprendo i massimi e i minimi.
ti faccio un esempio prendiamo $f(x)=x^2$ nell'intervallo $[-1,2]$ allora la funzione ha un minimo relativo in $x=0$ ed $f(0)=0$ ora $f(-1)=1$ e $f(2)=4$ quindi fra questi candidati massimi e minimi abbiamo in $x=0$ il minimo assoluto e in $x=2$ il massimo assoluto.
Più o meno hai inquadrato il discorso?
se ti chiedi perché invece l'ha trovato con un limite è anche questo molto semplice, in tutti i punti in cui la funzione è continua allora è chiaramente anche limitata, cioè non può esistere un certo $x$ per cui $f(x)=\pm \infty$ quindi se la funzione tende a diventare infinitamente positiva o negativa, non lo può fare in un punto dove la funzione è continua, quindi lo può fare solo in due tipi di posti:
1) i punti di discontinuità (se ce ne sono, nel tuo caso non ce n'erano)
2) gli estremi del dominio (nel tuo caso il dominio è $(-\infty , +\infty)$ )
in questi posti non si può valutare la funzione, ma bisogna fare il limite.
Ora se trovi che da qualche parte la funzione tende a $+\infty$ allora non esiste massimo per il discorso di prima (ma il Sup della funzione sarà più infinito), se trovi che da qualche parte la funzione tende a $-\infty$ la funzione non può avere minimo sempre per il discorso di prima (ma l'Inf della funzione sarà meno infinito).
Ora se la funzione non va a infinito da nessuna parte allora, se ne può discutere.
Se scopri che da qualche parte la funzione tende a un numero, allora dipende, c'è tutta una casistica, però non vorrei elencare tutti i casi possibili... il mio consiglio è usare il cervello e provare a disegnare le funzioni... la casistica è secondo me piuttosto intuitiva... il fulcro è che il massimo assoluto deve essere un numero $M$, deve esistere una $x_0$ tale per cui $f(x_0)=M$ e non deve esistere nessun altra $x$ tale per cui $f(x)>M$ e chiaramente se hai che la funzione da qualche parte tende a un numero maggiore di $M$ o a più infinito allora chiaramente non hai nessun massimo assoluto.
Piuttosto se non ti è chiaro il discorso porta un po' di esempi e ne discutiamo fin quando non ti arriva l'illuminazione...
se dovevi determinare il massimo e il minimo su un intervallo chiuso e limitato ( $[a,b]$ è chiuso e limitato) allora il teorema di Weistrass ti garantisce che DEVONO esistere il massimo e il minimo assoluti nell'intervallo.
Per trovarli e molto semplice tu prima cerchi con le derivate se all'interno dell'intervallo ci sono minimi o massimi relativi.
Se ci sono valuti la funzione in tali punti e la confronti con i valori agli estremi dell'intervallo scoprendo i massimi e i minimi.
ti faccio un esempio prendiamo $f(x)=x^2$ nell'intervallo $[-1,2]$ allora la funzione ha un minimo relativo in $x=0$ ed $f(0)=0$ ora $f(-1)=1$ e $f(2)=4$ quindi fra questi candidati massimi e minimi abbiamo in $x=0$ il minimo assoluto e in $x=2$ il massimo assoluto.
Più o meno hai inquadrato il discorso?
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