Esercizio continuità, differenziabilità funzioni 2 variabili

[Rasteky]

L'esercizio chiede di studiare prima la continuità e poi la differenziabilità di questa funzione in $(0,0)$
$f(x,y)=\{(x^2+y^2, x!=0) ,(y, x=0):}$
In genere sono abituato a studiare funzioni che non sono definite in un solo punto e non lungo tutto un piano, ma comunque, ho pensato che bastasse studiare il limite della funzione per x che tende a 0 tenendo fissa la y; ottenendo che il valore del limite e della funzione sono uguali per $y=0$. E' giusto come ragionamento??? Invece, per quanto riguarda la differenziabilità, non si può risolvere studiando la continuità delle derivare parziali?? Devo risolverla per forza con i limiti?
L'esercizio in sè non mi sembra difficile, voglio solo capire bene come ragionare quando la funzione dipende solo da una variabile...grazie a tutti per l'aiuto!!

[regim]

Prendi il punto $P =(0,2)$ il valore della funzione è $2$, ma il limite della funzione è $4$ considerando l'insieme di definizione ed escludendo nel calcolo l'asse delle ordinate, quindi lì non è continua, questo ragionamento vale per tutti i punti simili a $P$ tranne i casi in cui, con $x=0$, $y=1$ oppure $y=0$, che sono gli unici punti di quel genere in cui il limite e il valore della funzione coincidono.
Domanda: perchè il limite che ho calcolato sopra vale $4$, nell'insieme su specificato, e si può essere sicuri di ciò?
Il differenziale nell'origine è il vettore riga $f^{\prime}(0,0)=(0,0)$.

[Rasteky]

Ah ok...penso di aver capito!! Per quanto riguarda la tua domanda la risposta penso sia nel fatto che:
$lim_(x->0)f(x,y)= y^2$ Giusto???

[regim]

Volevi sapere come si ragiona in questi casi, la risposta alla domanda ti metteva sulla strada, ma non è quella che hai dato.
La risposta è: perchè la funzione $x^2 + y^2$ è continua nel piano.

Ciao