Esercizio con teoremi della divergenza e rotore
Buona sera a tutti!
Oggi provo a svolgere questo esercizio:
Dato $V\equiv(3x-y^2z, 2y+xz^2, 2z^2-xy)$ e la superficie $\Sigma={(x,y,z)\inRR^3: x^2+y^2=1-z, -2<=z<=0}$:
a)Calcolare il flusso uscente di $V$ attraverso $\Sigma$ con il teorema della divergenza.
b)Calcolare $\Phi\Rot(V)$ con il teorema di Stokes.
Ok incomincio calcolandomi $\Div(V)$:
$\Div(V)=3+2+4z=5+4z$
Quindi mi calcolo $\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz$, da cui in seguito toglierò i flussi attraverso i due cerchi "coperchio":
$\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz=\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))(5+4z)\rhod\rhod\thetadz=$
$\int_-2^0int_0^(2pi)(-6int_0^(sqrt(3)udu+(sinvcosv)int_0^(sqrt(3)u^3du)) dv$
$5\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))\rhod\rhod\thetadz+4\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))z\rhod\rhod\thetadz=$
Mi calcolo separatamente i 2 integrali, il primo:
$5\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))\rhod\rhod\thetadz=5/2\int_-2^0int_0^(2pi)(1-z)d\thetadz=5/2\int_-2^0(1-z)int_0^(2pi)d\thetadz=$
$5pi\int_-2^(0)1-zdz=5pi(\int_-2^0dz-\int_-2^0zdz)=20pi$
E il secondo:
$4\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))z\rhod\rhod\thetadz=2\int_-2^0zint_0^(2pi)(1-z)d\thetadz=4pi\int_-2^0z-z^2dz=$
$4pi\int_-2^0z-z^2dz=4pi(1/2z^2|_-2^0-1/3z^3|_-2^0)=4pi(-2+8/3)=8/3pi$
Quindi:
$\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz=(20+8/3)pi=68/3pi$
Sperando di non aver fatto errori di calcolo, vado avanti.
Mi calcolo il flusso attraverso il cerchio superiore, e per prima cosa cerco una parametrizzazione in modo tale che la normale punti verso l'alto:
$\Phi_1(u,v)={(x=ucosv),(y=usinv),(z=0):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
La normale a conti fatti dovrebbe avere equazione $\vecn_1=u\veck$, quindi procedo con il calcolo:
$int_(c1)V\cdot\vecn_1d\sigma=int_0^(2pi)int_0^1-u^3sinvcosvdudv=-1/4int_0^(2pi)sinvdsinv=-1/8sin^2v|_0^(2pi)=0$
Adesso mi calcolo il flusso attraverso il cerchio inferiore:
$\Phi_1(u,v)={(x=usinv),(y=ucosv),(z=-2):}$ con $u\in[0,sqrt(3)]$ e $v\in[0,2pi]$
E la normale dovrebbe avere equazione $\vecn_2=-u\veck$, quindi:
$int_(c2)V\cdot\vecn_1d\sigma=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(3))(2(sqrt(3))^2-u^2sinvcosv)\cdot(-u)dudv$
$int_0^(2pi)-6int_0^(sqrt(3))udu+sinvcosvint_0^(sqrt(3))u^3dudv=$
$int_0^(2pi)-9+sinvcosv9/4dv=-9int_0^(2pi)dv=-18pi$
Quindi concluderei la prima parte affermando che il flusso uscente risulta $(68/3+18)pi=112/3pi$, cosa alquanto preoccupante.
Adesso provo a risolvere la seconda parte.
Il teorema di Stokes mi garantisce che $intint_\Sigma\Rot(V)\cdot\vecndxdydz=int_(partial\Sigma)Vd\sigma$, dove $\partial\Sigma$ indica il bordo di $\Sigma$.
Ora in questo caso mi risulta che i bordi siano le due circonferenze, quindi calcolerei i 2 integrali curvilinei sommando i risultati (è la prima volta che provo a fare un esercizio con Stokes, quindi non sono sicuro che vada bene il discorso che ho fatto).
Suppongo che il flusso da calcolare sia uscente, quindi immaginandomi dei "vortici" ruotanti in senso antiorario su $\Sigma$ direi che la circonferenza alla quota $z=-2$ sia da orientatare in senso antiorario e l'altra in senso orario.
Mi calcolo il primo integrale curvilineo (considerando la circonferenza a $z=-2$), quindi imposto la parametrizzazione:
${(x=sqrt(3)cost),(y=sqrt(3)sint),(z=-2):}$ con $t\in[0,2pi]$
e il vettore tangente dovrebbe risultare $(-sqrt(3)sint,sqrt(3)cost,0)$.
Posso impostare e sviluppare l'integrale:
$int_0^(2pi)(3sqrt(3)cost+6sin^2t)(-sqrt(3)sint)+(2sqrt(3)sint+4sqrt(3)cost)sqrt(3)costdt=$
$int_0^(2pi)-9sintcost-6sqrt(3)sin^3t+6sintcost+12cos^2tdt=$
$-6sqrt(3)int_0^(2pi)sin^3tdt-3int_0^(2pi)sintcostdt+12int_0^(2pi)cos^2tdt=12pi$
Procedo con il calcolo del secondo integrale:
${(x=sint),(y=cost),(z=0):}$ con $t\in[0,2pi]$
e il vettore tangente mi risulta $(cost,-sint,0)$,quindi:
$int_0^(2pi)(3sint)cost+2cost(-sint)dt=0$
Quindi concluderei che il flusso uscente del rotore risulta $12pi+0=12pi$.
Avrò fatto na marea di errori, comunque ora la cosa che mi interessa di più è sapere se mi sono mosso bene per la risoluzione della seconda parte, in quanto è la prima volta che provo a risolvere un esercizio del genere.
Poi vabbè dagli sbagli si impara, quindi se qualcuno fosse così gentile da farmi notare dov'è che sbaglio con i conti è ben accetto!
Grazie in anticipo a tutti!
Oggi provo a svolgere questo esercizio:
Dato $V\equiv(3x-y^2z, 2y+xz^2, 2z^2-xy)$ e la superficie $\Sigma={(x,y,z)\inRR^3: x^2+y^2=1-z, -2<=z<=0}$:
a)Calcolare il flusso uscente di $V$ attraverso $\Sigma$ con il teorema della divergenza.
b)Calcolare $\Phi\Rot(V)$ con il teorema di Stokes.
Ok incomincio calcolandomi $\Div(V)$:
$\Div(V)=3+2+4z=5+4z$
Quindi mi calcolo $\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz$, da cui in seguito toglierò i flussi attraverso i due cerchi "coperchio":
$\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz=\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))(5+4z)\rhod\rhod\thetadz=$
$\int_-2^0int_0^(2pi)(-6int_0^(sqrt(3)udu+(sinvcosv)int_0^(sqrt(3)u^3du)) dv$
$5\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))\rhod\rhod\thetadz+4\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))z\rhod\rhod\thetadz=$
Mi calcolo separatamente i 2 integrali, il primo:
$5\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))\rhod\rhod\thetadz=5/2\int_-2^0int_0^(2pi)(1-z)d\thetadz=5/2\int_-2^0(1-z)int_0^(2pi)d\thetadz=$
$5pi\int_-2^(0)1-zdz=5pi(\int_-2^0dz-\int_-2^0zdz)=20pi$
E il secondo:
$4\int_-2^0int_0^(2pi)int_0^(sqrt(1-z))z\rhod\rhod\thetadz=2\int_-2^0zint_0^(2pi)(1-z)d\thetadz=4pi\int_-2^0z-z^2dz=$
$4pi\int_-2^0z-z^2dz=4pi(1/2z^2|_-2^0-1/3z^3|_-2^0)=4pi(-2+8/3)=8/3pi$
Quindi:
$\intintint_\Sigma\Div(V)dxdydz=(20+8/3)pi=68/3pi$
Sperando di non aver fatto errori di calcolo, vado avanti.
Mi calcolo il flusso attraverso il cerchio superiore, e per prima cosa cerco una parametrizzazione in modo tale che la normale punti verso l'alto:
$\Phi_1(u,v)={(x=ucosv),(y=usinv),(z=0):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
La normale a conti fatti dovrebbe avere equazione $\vecn_1=u\veck$, quindi procedo con il calcolo:
$int_(c1)V\cdot\vecn_1d\sigma=int_0^(2pi)int_0^1-u^3sinvcosvdudv=-1/4int_0^(2pi)sinvdsinv=-1/8sin^2v|_0^(2pi)=0$
Adesso mi calcolo il flusso attraverso il cerchio inferiore:
$\Phi_1(u,v)={(x=usinv),(y=ucosv),(z=-2):}$ con $u\in[0,sqrt(3)]$ e $v\in[0,2pi]$
E la normale dovrebbe avere equazione $\vecn_2=-u\veck$, quindi:
$int_(c2)V\cdot\vecn_1d\sigma=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(3))(2(sqrt(3))^2-u^2sinvcosv)\cdot(-u)dudv$
$int_0^(2pi)-6int_0^(sqrt(3))udu+sinvcosvint_0^(sqrt(3))u^3dudv=$
$int_0^(2pi)-9+sinvcosv9/4dv=-9int_0^(2pi)dv=-18pi$
Quindi concluderei la prima parte affermando che il flusso uscente risulta $(68/3+18)pi=112/3pi$, cosa alquanto preoccupante.
Adesso provo a risolvere la seconda parte.
Il teorema di Stokes mi garantisce che $intint_\Sigma\Rot(V)\cdot\vecndxdydz=int_(partial\Sigma)Vd\sigma$, dove $\partial\Sigma$ indica il bordo di $\Sigma$.
Ora in questo caso mi risulta che i bordi siano le due circonferenze, quindi calcolerei i 2 integrali curvilinei sommando i risultati (è la prima volta che provo a fare un esercizio con Stokes, quindi non sono sicuro che vada bene il discorso che ho fatto).
Suppongo che il flusso da calcolare sia uscente, quindi immaginandomi dei "vortici" ruotanti in senso antiorario su $\Sigma$ direi che la circonferenza alla quota $z=-2$ sia da orientatare in senso antiorario e l'altra in senso orario.
Mi calcolo il primo integrale curvilineo (considerando la circonferenza a $z=-2$), quindi imposto la parametrizzazione:
${(x=sqrt(3)cost),(y=sqrt(3)sint),(z=-2):}$ con $t\in[0,2pi]$
e il vettore tangente dovrebbe risultare $(-sqrt(3)sint,sqrt(3)cost,0)$.
Posso impostare e sviluppare l'integrale:
$int_0^(2pi)(3sqrt(3)cost+6sin^2t)(-sqrt(3)sint)+(2sqrt(3)sint+4sqrt(3)cost)sqrt(3)costdt=$
$int_0^(2pi)-9sintcost-6sqrt(3)sin^3t+6sintcost+12cos^2tdt=$
$-6sqrt(3)int_0^(2pi)sin^3tdt-3int_0^(2pi)sintcostdt+12int_0^(2pi)cos^2tdt=12pi$
Procedo con il calcolo del secondo integrale:
${(x=sint),(y=cost),(z=0):}$ con $t\in[0,2pi]$
e il vettore tangente mi risulta $(cost,-sint,0)$,quindi:
$int_0^(2pi)(3sint)cost+2cost(-sint)dt=0$
Quindi concluderei che il flusso uscente del rotore risulta $12pi+0=12pi$.
Avrò fatto na marea di errori, comunque ora la cosa che mi interessa di più è sapere se mi sono mosso bene per la risoluzione della seconda parte, in quanto è la prima volta che provo a risolvere un esercizio del genere.
Poi vabbè dagli sbagli si impara, quindi se qualcuno fosse così gentile da farmi notare dov'è che sbaglio con i conti è ben accetto!
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Mi sembra che tu abbia ragionato bene nel complesso. Attento però all'uso che fai di vettori e versori: nelle varie formule vanno usati i versori (cioè quelli di norma unitaria).
Ecco tanto lo sapevo che qualcosa lo lasciavo per strada!
Quindi mi confermi che per stokes tutte le volte che trovo una superficie con più di un bordo devo sommare tutte le circuitazioni?
Quindi mi confermi che per stokes tutte le volte che trovo una superficie con più di un bordo devo sommare tutte le circuitazioni?
Certo che sì: altrimenti ti perdi qualche bordo.
No sai più che altro per esserne certo!
Intuitivamente pensavo si dovesse effettuare la somma di tutti gli integrali, però siccome mi fido poco di' mi cervello preferisco sempre avere conferme da gente che ne sa' un attimino in più di me!
Grazie mille ciampax!
Intuitivamente pensavo si dovesse effettuare la somma di tutti gli integrali, però siccome mi fido poco di' mi cervello preferisco sempre avere conferme da gente che ne sa' un attimino in più di me!
Grazie mille ciampax!
Aspetta un attimo:
per la prima parte....
Il discorso è questo : o fai la divergenza "dentro" a un volume, cioè integri la divergenza nel volume, OPPURE calcoli il flusso attraverso la superficie frontiera del volume.
Ma fai o una cosa oppure l'altra.
Mi sembra che hai mischiato le due cose prima facendo l'integrale della divergenza nel volume, poi hai sommato i coperchi che sono due superfici. Le due cose non vanno assieme.
Per essere chiari, è un errore, non va bene.
per la prima parte....
Il discorso è questo : o fai la divergenza "dentro" a un volume, cioè integri la divergenza nel volume, OPPURE calcoli il flusso attraverso la superficie frontiera del volume.
Ma fai o una cosa oppure l'altra.
Mi sembra che hai mischiato le due cose prima facendo l'integrale della divergenza nel volume, poi hai sommato i coperchi che sono due superfici. Le due cose non vanno assieme.
Per essere chiari, è un errore, non va bene.
No Quinzio, sbagli tu. La superficie originale è solo quella laterale, senza le basi (che brutta espressione, i "coperchi"!). Il Teorema delle Divergenza si applica a superfici chiuse. Pertanto, in questo caso verrebbe
[tex]$\iint_{\Sigma} F\cdot n\ d\sigma=\iiint_V \mathrm{div}(F)\ dx\ dy\ dz-\iint_{C_1} F\cdot n\ d\sigma-\iint_{C_1} F\cdot n\ d\sigma$[/tex]
[tex]$\iint_{\Sigma} F\cdot n\ d\sigma=\iiint_V \mathrm{div}(F)\ dx\ dy\ dz-\iint_{C_1} F\cdot n\ d\sigma-\iint_{C_1} F\cdot n\ d\sigma$[/tex]
OK, giusto.
Non mi ricordavo bene il problema di partenza.
Non mi ricordavo bene il problema di partenza.
Perdonatemi il termine "coperchio", però rende parecchio l'idea...
Ciampax stamattina mi è sorto un dubbio...
Sei sicuro che si debbano usare versori?
Ho ricontrollato i miei appunti (probabilmente sono errati come è stato dimostrato in precedenza), ed ho ripreso testualmente quello che ho scritto:
$int_phiF\cdotnd\sigma$ dove $\phi$ è la superficie, F il campo vettoriale, n il versore normale e $d\sigma$ l'elemento di superficie di riferimento.
Scrivendo $n=(\phi_u\times\phi_v)/(|\phi_u\times\phi_v|)$ e $d\sigma=|\phi_u\times\phi_v|dudv$ ottengo la relazione:
$int_\phiF\cdotnd\sigma=$
$intint_A[f_1(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v)),...,f_m(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v))]\cdot(\phi_u\times\phi_v)/(|\phi_u\times\phi_v|)|\phi_u\times\phi_v|dudv=$
$intint_A[f_1(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v)),...,f_m(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v))]\cdot(\phi_u\times\phi_v)dudv=$
$intint_AF\cdotndudv$
Come già detto,di me stesso mi fido poco!
Quindi prima di prendere per vera l'ultima relazione preferisco avere conferma da gente che ne sa più di me!
Sei sicuro che si debbano usare versori?
Ho ricontrollato i miei appunti (probabilmente sono errati come è stato dimostrato in precedenza), ed ho ripreso testualmente quello che ho scritto:
$int_phiF\cdotnd\sigma$ dove $\phi$ è la superficie, F il campo vettoriale, n il versore normale e $d\sigma$ l'elemento di superficie di riferimento.
Scrivendo $n=(\phi_u\times\phi_v)/(|\phi_u\times\phi_v|)$ e $d\sigma=|\phi_u\times\phi_v|dudv$ ottengo la relazione:
$int_\phiF\cdotnd\sigma=$
$intint_A[f_1(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v)),...,f_m(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v))]\cdot(\phi_u\times\phi_v)/(|\phi_u\times\phi_v|)|\phi_u\times\phi_v|dudv=$
$intint_A[f_1(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v)),...,f_m(\phi_1(u,v)+...+\phi_n(u,v))]\cdot(\phi_u\times\phi_v)dudv=$
$intint_AF\cdotndudv$
Come già detto,di me stesso mi fido poco!
Quindi prima di prendere per vera l'ultima relazione preferisco avere conferma da gente che ne sa più di me!
Quello che intendevo è proprio ciò che hai scritto: parli di vettori e scrivi una cosa, parli di versori e ne scrivi un altra. La risoluzione è giusta, ma usi terminologie errate in certi punti.
ok grazie per il consiglio ciampax!
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