Esercizio con Rotore in $R^3
Buonasera, ho un esercizio che ho quasi terminato, ma mi manca il passaggio finale;
praticamente, dato il campo $F(x,y,z)=(xz,z^2+y^2;zy)$ ed S è la porzione di superficie $x^2+y^2+z^2=2$ contenuta in $x>=0, z>=0$, e $nu$ il versore normale alla superficie S, calcolare $int_{S}(rot(F),nu) d sigma.
Allora, ho considerato il rotore relativo a F, che ho trovato essere $rot(F)=(-z;x;0);
dopodichè, a partire da $x^2+y^2+z^2=2$, ho trovato la z che sarà: $z=sqrt(2-x^2-y^2)
di conseguenza la superficie, parametrizzata in coordinate cartesiane, è: $phi(u,v)=(u,v,sqrt(2-u^2-v^2)).
Per trovare le componenti del versore normale $nu$, ho considerato lo jacobiano relativo a $phi(u,v)$, per poi calcolare i 3 minori di ordine 2, che sono le componenti.
$A(u,v)=u/sqrt(2-u^2-v^2), B=v/sqrt(2-u^2-v^2), C=1
quindi $nu=(u/sqrt(2-u^2-v^2),v/sqrt(2-u^2-v^2),1).
Il prodotto scalare $(rot(F),nu)$ è, quindi: $-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)
di conseguenza:
$int_{S}(rot(F),nu) d sigma = int int_{D} (-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)) d u d v
Ora quì non sono sicuro di come poter procedere.
Come determinare le limitazioni del dominio D? Presumo debba essere la circonferenza $u^2+v^2=2$, limitata al piano $uv$, ma non ne ho la certezza.
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi
praticamente, dato il campo $F(x,y,z)=(xz,z^2+y^2;zy)$ ed S è la porzione di superficie $x^2+y^2+z^2=2$ contenuta in $x>=0, z>=0$, e $nu$ il versore normale alla superficie S, calcolare $int_{S}(rot(F),nu) d sigma.
Allora, ho considerato il rotore relativo a F, che ho trovato essere $rot(F)=(-z;x;0);
dopodichè, a partire da $x^2+y^2+z^2=2$, ho trovato la z che sarà: $z=sqrt(2-x^2-y^2)
di conseguenza la superficie, parametrizzata in coordinate cartesiane, è: $phi(u,v)=(u,v,sqrt(2-u^2-v^2)).
Per trovare le componenti del versore normale $nu$, ho considerato lo jacobiano relativo a $phi(u,v)$, per poi calcolare i 3 minori di ordine 2, che sono le componenti.
$A(u,v)=u/sqrt(2-u^2-v^2), B=v/sqrt(2-u^2-v^2), C=1
quindi $nu=(u/sqrt(2-u^2-v^2),v/sqrt(2-u^2-v^2),1).
Il prodotto scalare $(rot(F),nu)$ è, quindi: $-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)
di conseguenza:
$int_{S}(rot(F),nu) d sigma = int int_{D} (-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)) d u d v
Ora quì non sono sicuro di come poter procedere.
Come determinare le limitazioni del dominio D? Presumo debba essere la circonferenza $u^2+v^2=2$, limitata al piano $uv$, ma non ne ho la certezza.
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi
Risposte
il dominio D è la proiezione sula piano xy, oppure uv come hai detto tu, della supreficie S. quindi è una semicirconferenza di raggio $sqrt(2)$
è possibile che venga 0?
sono passato a coordinate polari, sostituendo $u=rhocostheta, v=rhosintheta
e le limitazioni della semicirconferenza sono T:$0<=rho<=1, 0<=theta<=pi
andando a sostituire avrò:
$int int_{D} (-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)) d u d v = int int_{T} -rhocostheta+(rho^2costhetasintheta)/sqrt(2-rho^2) d rho d theta = int_{0}^{1}rho^2 d rho int_{0}^{pi}{(rho^2/sqrt(2-rho^2))(costhetasintheta)-costheta} d theta
ho scisso gli integrali in
1)$rho^2/sqrt(2-rho^2)int_{0}^{pi}costhetasintheta d theta=0
2)$int_{0}^{pi} -costheta=0
pertanto avrò $0*int_{0}^{1}rho^2 d rho=0
credo di non aver sbagliato nulla
sono passato a coordinate polari, sostituendo $u=rhocostheta, v=rhosintheta
e le limitazioni della semicirconferenza sono T:$0<=rho<=1, 0<=theta<=pi
andando a sostituire avrò:
$int int_{D} (-u+(uv)/sqrt(2-u^2-v^2)) d u d v = int int_{T} -rhocostheta+(rho^2costhetasintheta)/sqrt(2-rho^2) d rho d theta = int_{0}^{1}rho^2 d rho int_{0}^{pi}{(rho^2/sqrt(2-rho^2))(costhetasintheta)-costheta} d theta
ho scisso gli integrali in
1)$rho^2/sqrt(2-rho^2)int_{0}^{pi}costhetasintheta d theta=0
2)$int_{0}^{pi} -costheta=0
pertanto avrò $0*int_{0}^{1}rho^2 d rho=0
credo di non aver sbagliato nulla
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