Esercizio con parametro e convessità
Scusate vorrei porre due domani alle quali non riesco a dare una risposta..non so bene come raggionarci
1]Per quali valori di $ a in cc(R) $ l'equazione ha due soluzioni distinte..
[size=150]$ e^-(x^4)=a $ [/size]
2]Data la $ int_(0)^(x) e^-[(t-1)^2] dt $ é convessa per x=???
Avevo pensato alla derivata seconda $ geq 0 $ ,facendo la derivata della funzione integranda,ma mi porta ad un risultato errato..
Vi rigrazio
1]Per quali valori di $ a in cc(R) $ l'equazione ha due soluzioni distinte..
[size=150]$ e^-(x^4)=a $ [/size]
2]Data la $ int_(0)^(x) e^-[(t-1)^2] dt $ é convessa per x=???
Avevo pensato alla derivata seconda $ geq 0 $ ,facendo la derivata della funzione integranda,ma mi porta ad un risultato errato..
Vi rigrazio
Risposte
1) Basta che pensi per quali $k \in RR$, hai dei problemi a risolvere $x^4=k$
2) Il ragionamento della derivata 2a mi sembra corretto. Ricontrollato i passaggi ? Cosa viene $x<1$ convessa ?
2) Il ragionamento della derivata 2a mi sembra corretto. Ricontrollato i passaggi ? Cosa viene $x<1$ convessa ?
1]Probabilmente per $ k=0 $
2]Provo a scivere qualche passaggio in più
$ int_(0)^(x) e^-[(t-1)^2] dt $
$ y'= $ $ e^-[(t-1)^2] $
$ y''= $ $ -2(t-1)*e^-[(t-1)^2] $
Qundi per convessità $ -2(t-1)*e^-[(t-1)^2]geq 0 $
Visto che sono prodotti ho provato a risolvere separatamente e poi a unire i risultati..
$ -2(t-1)geq 0 $ ------> $ x<1 $
e
$ e^-[(t-1)^2]geq 0 $ ------>Da qui ho $ x in RR $
Il risultato che mi viene $x< 1 $ .. ------->corretto
Cmq viene x<1 come hai detto tu...
ciao
2]Provo a scivere qualche passaggio in più
$ int_(0)^(x) e^-[(t-1)^2] dt $
$ y'= $ $ e^-[(t-1)^2] $
$ y''= $ $ -2(t-1)*e^-[(t-1)^2] $
Qundi per convessità $ -2(t-1)*e^-[(t-1)^2]geq 0 $
Visto che sono prodotti ho provato a risolvere separatamente e poi a unire i risultati..
$ -2(t-1)geq 0 $ ------> $ x<1 $
e
$ e^-[(t-1)^2]geq 0 $ ------>Da qui ho $ x in RR $
Il risultato che mi viene $x< 1 $ .. ------->corretto
Cmq viene x<1 come hai detto tu...
ciao
Tu hai
$y(x) = \int_0^x f(t) dt$
Quello che devi guardare è $y''$
Allora:
$y'(x) = f(x)$
$y''(x) = f'(x)$
Ora guardare $y''$ significa guardare $f'$, quindi ...... ?
Dai su, ma $x^4=0$ non ha soluzioni ?
$y(x) = \int_0^x f(t) dt$
Quello che devi guardare è $y''$
Allora:
$y'(x) = f(x)$
$y''(x) = f'(x)$
Ora guardare $y''$ significa guardare $f'$, quindi ...... ?
1]Probabilmente per k=0
Dai su, ma $x^4=0$ non ha soluzioni ?
"Quinzio":
Tu hai
$y(x) = \int_0^x f(t) dt$
Quello che devi guardare è $y''$
Allora:
$y'(x) = f(x)$
$y''(x) = f'(x)$
Ora guardare $y''$ significa guardare $f'$, quindi ...... ?
Scusami non ti seguo la $y''$ significa guardare la derivata della f e allora??Cosa c'é di diverso da quello che ho fatto??
1]
Dai su, ma $x^4=0$ non ha soluzioni ?
ehm si scusa mi ero dimenticato il mio obiettivo,cercavo solo un problema..
Sarei felice se mi dicessi come ragionare su questo tipo di problema..gli ho sempre temuti..
Può essere $ k in (0,oo) $ ...
Eh, bene, e quindi se $k \in (0, +oo)$, cosa farà mai $e^{-k}=e^{-x^4}=a$ ?
$ a in (0,oo) $ Visto che non sara mai uguale a zero o ad un numero negativo??
Per il secondo esercizio???...
Gianni, guarda che $y''$ è sbagliata! Ricontrollala.
Pe ril primo esercizio, una osservazione: ovviamente $a>0$ altrimenti l'equazione è priva di significato. Inoltre, dall'identità $a=e^{\log a}$ segue $-x^4=\log a$ e quindi $x^4=-\log a=\log 1/a$. Ne segue che per avere due soluzioni distinte $\log\frac{1}{a} > 0$ e quindi $\frac{1}{a} > 1$ e in definitiva $0 < a < 1$.
Pe ril primo esercizio, una osservazione: ovviamente $a>0$ altrimenti l'equazione è priva di significato. Inoltre, dall'identità $a=e^{\log a}$ segue $-x^4=\log a$ e quindi $x^4=-\log a=\log 1/a$. Ne segue che per avere due soluzioni distinte $\log\frac{1}{a} > 0$ e quindi $\frac{1}{a} > 1$ e in definitiva $0 < a < 1$.
"ciampax":
Gianni, guarda che $y''$ è sbagliata! Ricontrollala.
Fatto adesso torna ..
"ciampax":
Pe ril primo esercizio, una osservazione: ovviamente $a>0$ altrimenti l'equazione è priva di significato. Inoltre, dall'identità $a=e^{\log a}$ segue $-x^4=\log a$ e quindi $x^4=-\log a=\log 1/a$. Ne segue che per avere due soluzioni distinte $\log\frac{1}{a} > 0$ e quindi $\frac{1}{a} > 1$ e in definitiva $0 < a < 1$.
Ok,adesso ho capito..
grazie mille..
"ciampax":
quindi $x^4=-\log a=\log 1/a$.
scusami c'é solo una cosa che non mi torna,come é diventato $log 1/a$??
ciao
Ha evidentemente sbagliato a scrivere, penso proprio intendesse $-log a = log(1/a)$.
Credo di si....
"Gianni91":
[quote="ciampax"]
quindi $x^4=-\log a=\log 1/a$.
scusami c'é solo una cosa che non mi torna,come é diventato $log 1/a$??
ciao[/quote]
E dire che l'ho ricorretto 3 volte. Ha comunque dato sta cosa! Maledetta implementazione latex fedifraga!
Grazie ancora.. 
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