Esercizio con o-piccolo

[salviom]

Mi trovo con un dubbio sugli o-piccolo:
Si abbia ad esempio,
$o((x+x^2/2+o(x^3))^2)$ per $x->0$; risultato $o(x^2)$

Ho sviluppato il quadrato all'interno

$o(x^2+x^4/4+o(x^6)+x^3+o(x^4)+o(x^5))$
"togliendo" gli o-piccoli con esponente maggiore
$o(x^2+x^4/4+x^3+o(x^4))$
ed essendo $x^3=o(x^2),x->0$
$o(x^2+x^4/4+o(x^2)+o(x^4))$
e infine
$o(x^2+o(x^2))$
ma questo non posso farlo diventare il risultato sfruttando nessuna "algebra" degli o-piccolo
Al massimo ho pensato di fare, essendo $x^2=o(x), x->0$
avrei
$o(o(x)+o(x^2))=o(o(x))=o(x)$

Potreste aiutarmi,vorrei capire lo svolgimento corretto

[gugo82]

Una delle regole di calcolo con i simboli di Landau è proprio:
\[
\text{o} \Big( f(x) + \text{o}\big( f(x)\big) \Big) = \text{o}\big( f(x)\big)
\]
per ogni infinitesimo $f$.

Prova a dimostrarla.

[salviom]

Non lo sapevo!
Ci provo subito a dimostrarla, intanto vorrei farti una "domanda bonus"...
In realtà non mi pare di aver commesso errori nel procedimento,dunque seguendo il tuo suggerimento arriverei al risultato richiesto $o(x^2)$, ma seguendo il mio (ammesso sia coerente) giungerei alrisultato $o(x)$

Da cui $o(x^2)=o(x)$ che è un assurdo, ma non trovo l'errore

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Credo di sbaglaire qualcosa, ho pensato data la definizione di o-piccolo che:

$lim_(x->0) (f(x)+(o(f(x))))/f(x)$ deve darmi zero

cioè riapplicando la definizione di o-piccolo a o(f(x)) vol dire che esiste una funzione "Mandata a zero" da f(x) per x->0, in soldoni:

$lim_(x->0) (f(x)+(lim_(x->0)g(x)/f(x)))/f(x)$

e proprio perché $lim_(x->0)g(x)/f(x)=0$ essendo un o-piccolo avrei:

$lim_(x->0) (f(x)+0)/f(x)=1$
sbaglio!

[gugo82]

Beh, quello è un assurdo solo perché non stai usando correttamente l’uguaglianza tra i simboli di Landau (che denotano insiemi di funzioni, non funzioni, anche se si usano come se fossero queste ultime).

Però, se ci pensi, è vero che ogni $text(o)(x^2)$ è anche un $text(o) (x)$ (usa la definizione)... Quindi, a parte la confusione derivante dalla notazione, stai asserendouna cosa vera.

[salviom]

Giusto! Devo prenderci proprio la mano, ok questo dubbio è andato!

Ora però sbaglio nell'esercizio che mi hai proposto, ho fatto un edit mentre stavi scrivendo anche tu, se ti va di guardarci

Grazie gugo!

[gugo82]

Consiglio: quando hai a che fare con i simboli di Landau, nelle dimostrazioni fissa un nome per ogni infinitesimo.

Ad esempio, vuoi dimostrare che:
\[ \text{o} \Big( f(x) + \text{o}\big( f(x)\big) \Big) = \text{o}\big( f(x)\big) \]
il che significa che ogni funzione che appartiene alla prima classe appartiene anche alla seconda (come osservato sopra).
Allora, chiama $g(x)$ un qualsiasi elemento di $text(o)(f(x) +text(o) (f(x)))$, $h(x)$ il generico elemento di $text(o)(f(x))$: per ipotesi hai:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x) + h(x)} =0
\]
e devi provare che ciò implica:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0\;.
\]
Mi pare piuttosto immediato, no?

[salviom]

Ho completamente sbagliato l'impsotazione.

Allora a questo punto direi che essendo h(x) infinitesima per definizione di o-piccolo che è limite delrapporto di due infinitesime essa va a zero, sfrutto l'algebra estesa dei limiti e ottengo
$lim_(x->x_0) g(x)/(f(x)+0)$ che è proprio l'ultima del tuo messaggio.

Potrebbe andare?
Grazie

[gugo82]

Beh, sì... Però io avrei fatto così:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x) + h(x)}\ \left( 1 + \frac{ h(x)}{f(x)}\right) = 0\cdot 1 = 0\; ,
\]
rapido ed indolore.

[salviom]

Sapevo che avrei sbaglaito ancora.
Grazie mille gugo per i tuoi interventi sul forum. Sempre chiarissimo e gentile.

Buona giornata